Номер 5.21, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.21. Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей? Приведите примеры.

Да, центр симметрии пространственной фигуры может не принадлежать самой фигуре. Это следует непосредственно из определения центральной симметрии.

Точка $O$ называется центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $P$, принадлежащей фигуре $F$ ($P \in F$), симметричная ей относительно $O$ точка $P'$ также принадлежит фигуре $F$ ($P' \in F$). Симметричная точка $P'$ определяется векторным равенством $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

Это определение накладывает требование только на те точки, которые уже являются частью фигуры. Оно не обязывает сам центр симметрии $O$ принадлежать фигуре $F$. Если $O \notin F$, это не создает никакого противоречия с определением. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Фигура из двух различных точек. Пусть фигура $F$ состоит всего из двух различных точек $A$ и $B$. Центром симметрии для этой фигуры будет точка $O$ — середина отрезка $AB$. Точка $A$ симметрична точке $B$ относительно $O$, и наоборот. Однако сама точка $O$ не является частью фигуры $F$, так как $F = \{A, B\}$, а $O$ — это отдельная точка, не совпадающая ни с $A$, ни с $B$.

Пример 2: Сферическая поверхность. Сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R > 0$ — это множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии $R$ от точки $O$. Точка $O$ является ее центром симметрии, поскольку для любой точки $P$ на сфере противоположная ей точка $P'$, полученная отражением через центр, также находится на этой же сфере. Но сам центр $O$ не принадлежит поверхности сферы, так как расстояние от точки $O$ до самой себя равно 0, а не $R$.

Пример 3: Шаровой слой (полый шар). Эта фигура представляет собой множество точек, расположенных между двумя концентрическими сферами с радиусами $r$ и $R$, где $0 < r < R$. Общий центр этих сфер, точка $O$, служит центром симметрии для всего слоя. Однако точка $O$ находится в пустом пространстве внутри меньшей сферы и, следовательно, не принадлежит фигуре.

Пример 4: Две параллельные плоскости. Рассмотрим фигуру, состоящую из точек двух различных параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Любая точка $O$, расположенная на плоскости, которая параллельна $\alpha$ и $\beta$ и равноудалена от них, является центром симметрии. При этом очевидно, что точка $O$ не лежит ни на одной из исходных плоскостей и, значит, не принадлежит фигуре.

Ответ: Да, может. Примерами таких фигур являются: фигура из двух различных точек, сферическая поверхность, шаровой слой, фигура из двух параллельных плоскостей.