Номер 5.17, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.17 Сколько осей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) Правильная n-угольная призма имеет в основаниях два равных правильных n-угольника, а её боковые грани — равные прямоугольники. Оси симметрии такой призмы делятся на два вида:
1. Одна ось, проходящая перпендикулярно основаниям через их центры. Это ось симметрии n-го порядка, так как поворот вокруг неё на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ отображает призму на себя.
2. $ n $ осей, лежащих в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит посередине между ними. Эти оси являются осями симметрии второго порядка (поворот на $ 180^\circ $). Они проходят через центр призмы и соответствуют осям симметрии основания (правильного n-угольника).
• Если $ n $ — нечётное число, оси соединяют середину бокового ребра и центр противоположной боковой грани.
• Если $ n $ — чётное число, $ n/2 $ осей соединяют центры противоположных боковых граней, а другие $ n/2 $ — середины противоположных боковых рёбер.
В сумме получается $ 1 + n $ осей симметрии.
Ответ: $ n+1 $.

б) Правильная n-угольная пирамида имеет в основании правильный n-угольник, а её вершина проецируется в центр основания.
У такой пирамиды существует только одна ось симметрии. Эта ось проходит через вершину пирамиды и центр её основания. Поворот вокруг этой оси на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ совмещает пирамиду саму с собой, поэтому это ось n-го порядка.
Других осей симметрии нет. Любая другая ось должна была бы проходить через центр масс пирамиды (который лежит на первой оси) и быть перпендикулярной ей. Однако поворот на $ 180^\circ $ вокруг такой гипотетической горизонтальной оси переместил бы вершину пирамиды вниз, под основание, где нет точек фигуры, что противоречит определению симметрии.
Ответ: 1.