Номер 5.12, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.12 Имеет ли центр симметрии:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) до-декаэдр (рис. 5.22)?

а)

б)

в)

Рис. 5.22

а) октаэдр
Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Такое преобразование называется центральной симметрией.
Правильный октаэдр (рис. 5.22, а) является одним из пяти Платоновых тел. Он имеет центр симметрии, который совпадает с его геометрическим центром.
Это можно увидеть, рассмотрев его элементы:
- Вершины: Октаэдр имеет 6 вершин. Каждой вершине противолежит другая вершина, и отрезок, соединяющий их, проходит через центр октаэдра, который является его серединой.
- Ребра: Октаэдр имеет 12 ребер. Каждому ребру противолежит параллельное ему ребро.
- Грани: Октаэдр имеет 8 граней (правильные треугольники). Каждой грани противолежит параллельная ей грань.
Таким образом, любая точка на поверхности или внутри октаэдра имеет симметричную ей точку относительно центра, которая также принадлежит октаэдру.
Ответ: да, имеет.

б) икосаэдр
Правильный икосаэдр (рис. 5.22, б) — это Платоново тело, состоящее из 20 правильных треугольников. Как и октаэдр, икосаэдр обладает центральной симметрией. Его центр симметрии — это его геометрический центр.
Симметрия икосаэдра проявляется в том, что:
- Вершины: У икосаэдра 12 вершин. Для каждой вершины существует диаметрально противоположная ей вершина. Всего имеется 6 пар противоположных вершин.
- Ребра: У икосаэдра 30 ребер. Для каждого ребра существует противоположное и параллельное ему ребро. Всего 15 пар противоположных ребер.
- Грани: У икосаэдра 20 граней. Для каждой грани существует противоположная и параллельная ей грань. Всего 10 пар противоположных граней.
Таким образом, преобразование центральной симметрии относительно геометрического центра переводит икосаэдр в себя.
Ответ: да, имеет.

в) додекаэдр
Правильный додекаэдр (рис. 5.22, в) — это Платоново тело, гранями которого являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр также имеет центр симметрии, совпадающий с его геометрическим центром.
Это следует из его структуры:
- Вершины: Додекаэдр имеет 20 вершин. Они образуют 10 пар диаметрально противоположных вершин.
- Ребра: Додекаэдр имеет 30 ребер, которые образуют 15 пар противоположных ребер.
- Грани: Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольники). Каждой грани противолежит равная и параллельная ей грань. Всего 6 пар противоположных граней.
Следовательно, додекаэдр центрально-симметричен относительно своего центра. Интересно отметить, что додекаэдр и икосаэдр являются двойственными многогранниками, и их группы симметрий, включая центральную симметрию, совпадают.
Ответ: да, имеет.