Номер 5.7, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.7. Имеет ли правильная шестиугольная пирамида (рис. 5.19):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.19

а) Центр симметрии – это точка, относительно которой любая точка фигуры имеет симметричную ей точку, также принадлежащую фигуре. Предположим, у правильной шестиугольной пирамиды есть центр симметрии $O$. Тогда для вершины пирамиды $S$ должна существовать симметричная ей точка $S'$, которая также принадлежит пирамиде. Точка $S'$ должна находиться на прямой $SO$ на таком же расстоянии от $O$, что и $S$, но с другой стороны. Такая точка будет лежать вне пирамиды (под ее основанием), так как у пирамиды только одна вершина $S$ и основание. Следовательно, у правильной шестиугольной пирамиды нет центра симметрии.
Ответ: нет.

б) Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. Для правильной шестиугольной пирамиды такая ось существует, и она единственна. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и центр ее основания $O$ (высота пирамиды). Основание пирамиды — правильный шестиугольник, который совмещается сам с собой при повороте вокруг своего центра на угол, кратный $60^\circ$ ($360^\circ/6$). Поскольку вершина $S$ лежит на оси вращения, то и вся пирамида при таких поворотах совмещается сама с собой. Других осей симметрии у пирамиды нет, так как любая другая ось не сохранила бы положение вершины $S$.
Ответ: да, одна ось симметрии.

в) Плоскость симметрии – это плоскость, отражение относительно которой переводит фигуру в себя. Правильная шестиугольная пирамида имеет плоскости симметрии двух типов. Все они проходят через вершину $S$. Первый тип — это три плоскости, которые проходят через противоположные вершины основания (например, через $A$ и $D$). Второй тип — это три плоскости, которые проходят через середины противоположных сторон основания (например, сторон $AB$ и $ED$). Итого, у правильной шестиугольной пирамиды $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, шесть плоскостей симметрии.