Номер 5.1, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.1. Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур в пространстве.

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$ (называемая центром симметрии), что для любой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Приведем несколько примеров таких фигур:

1. Шар (сфера).Центром симметрии является центр шара (сферы). Любая точка на поверхности сферы имеет симметричную ей точку относительно центра, которая также лежит на поверхности.

2. Параллелепипед (включая куб и прямоугольный параллелепипед).Центром симметрии является точка пересечения его диагоналей.

3. Прямой круговой цилиндр.Центром симметрии является середина отрезка, соединяющего центры его оснований.

4. Отрезок.Центром симметрии является его середина.

5. Прямая, плоскость, всё пространство.Для этих фигур любая их точка может служить центром симметрии.

6. Октаэдр.Центром симметрии является точка пересечения его больших диагоналей.

Ответ: Шар, куб, параллелепипед, прямой круговой цилиндр, отрезок, прямая, плоскость, октаэдр.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве

Фигура является не центрально-симметричной, если у нее не существует центра симметрии. То есть, для любой выбранной точки $O$ можно найти такую точку $M$ фигуры, что симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ не будет принадлежать фигуре.

Приведем несколько примеров:

1. Конус.У конуса нет центра симметрии. Например, если предположить, что центр симметрии существует, то вершина конуса должна была бы иметь симметричную точку, которая также являлась бы вершиной, что невозможно.

2. Пирамида (любая, включая тетраэдр).Как и у конуса, у пирамиды есть единственная вершина, которой не соответствует никакая другая симметричная точка.

3. Полусфера или полушар.Эти фигуры ограничены с одной стороны плоскостью, а с другой — сферической поверхностью, что нарушает возможность центральной симметрии.

4. Усеченный конус.Так как радиусы оснований усеченного конуса различны, он не может иметь центра симметрии (за исключением вырожденного случая, когда он становится цилиндром).

5. Луч.Луч имеет начальную точку, но бесконечен только в одном направлении, поэтому он не может быть центрально-симметричным.

6. Призма, основанием которой является нецентрально-симметричный многоугольник(например, правильный треугольник или произвольный четырехугольник).

Ответ: Конус, пирамида, тетраэдр, полусфера, усеченный конус, луч.