Номер 5.4, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.4 Имеет ли правильная треугольная призма (рис. 5.16):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.16

а) Центр симметрии — это такая точка $O$, что для любой точки фигуры $P$ симметричная ей относительно $O$ точка $P'$ (где $O$ — середина отрезка $PP'$) также принадлежит этой фигуре. Многогранник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его грани и вершины попарно-симметричны относительно этого центра. У правильной треугольной призмы 6 вершин. Если бы центр симметрии существовал, то для вершины $A$ нашлась бы симметричная ей вершина $A'$, для $B$ — вершина $B'$ и для $C$ — вершина $C'$. Однако, у оснований призмы, которые являются правильными треугольниками, нет центра симметрии. Если бы мы предположили наличие центра симметрии у призмы, то он должен был бы лежать на середине отрезка, соединяющего центры оснований. Но тогда, например, отражение вершины $A$ нижнего основания не совпало бы ни с одной из вершин верхнего основания. Таким образом, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.
Ответ: нет, не имеет.

б) Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильная треугольная призма имеет 4 оси симметрии.
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центроиды (центры) верхнего и нижнего оснований. При повороте вокруг этой оси на угол $120^\circ$ или $240^\circ$ основания призмы (правильные треугольники) переходят сами в себя, а боковые грани циклически меняются местами, в результате чего призма совмещается сама с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними. Каждая из этих осей проходит через центр призмы (середину отрезка, соединяющего центры оснований) и перпендикулярна одной из боковых граней (т.е. проходит через середины двух противоположных ребер этой грани). При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих осей призма также совмещается сама с собой.
Ответ: да, имеет 4 оси симметрии (одну 3-го порядка и три 2-го порядка).

в) Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильная треугольная призма имеет 4 плоскости симметрии.
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и равноудалена от них (проходит через середину высоты). При отражении относительно этой плоскости верхнее основание отображается на нижнее, а нижнее — на верхнее, при этом боковые грани отображаются сами на себя.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей перпендикулярна основаниям и проходит через одну из высот (они же медианы и биссектрисы) основания. Такая плоскость содержит одно из боковых ребер и проходит через середину противолежащей ему боковой грани. При отражении относительно такой плоскости две вершины одного основания и две вершины другого меняются местами, а вершины, лежащие на боковом ребре в этой плоскости, остаются на месте. Каждая такая плоскость делит призму на две зеркально равные части.
Ответ: да, имеет 4 плоскости симметрии (одну горизонтальную и три вертикальные).