Номер 5.8, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.8. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, изображенной на рисунке 5.20.

Рис. 5.20

Для построения пирамиды, центрально-симметричной данной пирамиде $SABCD$ относительно точки $O$, необходимо для каждой вершины исходной пирамиды (точек $S, A, B, C, D$) построить симметричную ей точку относительно центра симметрии $O$.

Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это означает, что для построения точки $M'$ нужно провести луч из точки $M$ через точку $O$ и отложить на этом луче отрезок $OM'$, равный по длине отрезку $OM$. Векторно это выражается как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Будем выполнять построение для каждой вершины на листе в клетку, используя смещения по горизонтали и вертикали относительно точки $O$.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $A$, нужно сместиться на 3 клетки влево и на 2 клетки вниз. Следовательно, для построения точки $A'$ нужно из точки $O$ сместиться в противоположных направлениях: на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх.

2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $B$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Для построения точки $B'$ из точки $O$ смещаемся на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.

3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $C$, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Для построения точки $C'$ из точки $O$ смещаемся на 2 клетки влево и на 1 клетку вниз.

4. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $D$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Для построения точки $D'$ из точки $O$ смещаемся на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

5. Построение точки $S'$, симметричной вершине $S$.
Чтобы попасть из точки $O$ в точку $S$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 3 клетки вверх. Для построения точки $S'$ из точки $O$ смещаемся на 1 клетку вправо и на 3 клетки вниз.

После нахождения всех симметричных вершин $A', B', C', D', S'$, соединяем их, чтобы получить искомую пирамиду $S'A'B'C'D'$. Основанием новой пирамиды будет четырехугольник $A'B'C'D'$, а вершиной — точка $S'$.

При изображении новой пирамиды следует учесть видимость ребер. В исходной пирамиде ребра $AD$ и $SD$ показаны пунктиром как невидимые. В симметричной пирамиде $S'A'B'C'D'$ невидимыми будут ребра $B'C'$ и $S'B'$, так как они окажутся "за" пирамидой при стандартном ракурсе. Ребро $S'C'$ также будет невидимым.

Ответ:
Изображение искомой пирамиды $S'A'B'C'D'$ получается путем построения точек $A', B', C', D', S'$, центрально-симметричных вершинам исходной пирамиды $A, B, C, D, S$ относительно точки $O$, и их последующего соединения. Координаты новых вершин относительно точки $O$, принятой за начало координат $(0,0)$, будут следующими: $A'(3, 2)$, $B'(-1, 2)$, $C'(-2, -1)$, $D'(2, -1)$, $S'(1, -3)$. Основание $A'B'C'D'$ является трапецией. Ребра $A'B'$, $A'D'$, $D'C'$, $S'A'$ и $S'D'$ являются видимыми и чертятся сплошной линией. Ребра $B'C'$, $S'B'$ и $S'C'$ являются невидимыми и чертятся пунктирной линией.