Номер 5.14, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.14 Сколько плоскостей симметрии имеет правильная: а) треугольная призма (рис. 5.16); б) шестиугольная призма (рис. 5.17)?

5.15. Сколько в своей симметрии

Рис. 5.16

$A_1$ $C_1$ $B_1$ $A$ $C$ $B$

Рис. 5.17

$E_1$ $D_1$ $C_1$ $F_1$ $A_1$ $B_1$ $F$ $E$ $D$ $C$ $A$ $B$

а) треугольная призма
Чтобы найти количество плоскостей симметрии правильной треугольной призмы, рассмотрим два возможных типа таких плоскостей.
1. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость проходит ровно посередине между двумя основаниями призмы, параллельно им. Она делит каждый боковой прямоугольник и каждое боковое ребро пополам. Такая плоскость только одна.
2. Вертикальные плоскости симметрии. Эти плоскости перпендикулярны основаниям призмы. Чтобы такая плоскость была плоскостью симметрии, она должна пересекать основание (правильный треугольник) по его оси симметрии. Правильный треугольник имеет 3 оси симметрии: каждая из них является высотой, медианой и биссектрисой и проходит через вершину и середину противоположной стороны. Каждая из этих трёх осей симметрии основания определяет одну вертикальную плоскость симметрии для всей призмы. Таким образом, у призмы есть 3 вертикальные плоскости симметрии.
Общее количество плоскостей симметрии равно сумме горизонтальных и вертикальных плоскостей: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4.

б) шестиугольная призма
Аналогично, для правильной шестиугольной призмы рассмотрим те же два типа плоскостей симметрии.
1. Горизонтальная плоскость симметрии. Как и в предыдущем случае, эта плоскость одна и проходит параллельно основаниям через середины боковых рёбер.
2. Вертикальные плоскости симметрии. Их количество определяется количеством осей симметрии у правильного шестиугольника, который лежит в основании призмы. Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии:
- 3 оси проходят через противоположные вершины. Каждая из них определяет плоскость симметрии, которая проходит через два противоположных боковых ребра призмы.
- 3 оси проходят через середины противоположных сторон. Каждая из них определяет плоскость симметрии, которая проходит через середины двух противоположных боковых граней призмы.
Таким образом, у призмы имеется 6 вертикальных плоскостей симметрии.
Общее количество плоскостей симметрии равно: $1 + 6 = 7$.
Ответ: 7.