Номер 5.20, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.20 Сколько плоскостей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 5.22)?

Рис. 5.22

а) октаэдр

Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел, многогранник с 8 гранями (правильные треугольники), 12 ребрами и 6 вершинами. Октаэдр является двойственным к кубу, поэтому он имеет ту же группу симметрии и, следовательно, то же количество плоскостей симметрии, что и куб.
Плоскости симметрии октаэдра можно разделить на два типа:

1. Плоскости, проходящие через центр октаэдра и четыре его вершины. Эти вершины образуют в сечении квадрат. Таких плоскостей 3. Если поместить октаэдр в центр системы координат так, чтобы его вершины находились на осях в точках $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm a, 0)$, $(0, 0, \pm a)$, то эти плоскости будут совпадать с координатными плоскостями ($xy, yz, xz$).

2. Плоскости, проходящие через пару противоположных вершин и через середины двух противоположных ребер «экваториального» квадрата. Для каждой пары противоположных вершин (например, на оси $z$) существует две такие плоскости, которые пересекают экваториальную плоскость ($xy$) по диагоналям. Всего таких плоскостей $3 \times 2 = 6$.

Суммарное количество плоскостей симметрии октаэдра равно $3 + 6 = 9$.

Ответ: 9.

б) икосаэдр

Правильный икосаэдр — платоново тело с 20 гранями (правильные треугольники), 30 ребрами и 12 вершинами. Все плоскости симметрии правильного многогранника проходят через его центр.

Чтобы подсчитать количество плоскостей симметрии, можно найти геометрические элементы, каждому из которых соответствует одна такая плоскость. Для икосаэдра такими элементами являются пары противоположных ребер.

Икосаэдр имеет 30 ребер. Эти ребра можно сгруппировать в 15 пар противоположных (параллельных) ребер. Каждая такая пара ребер лежит в одной плоскости, проходящей через центр икосаэдра. Эта плоскость является плоскостью симметрии, так как отражение относительно нее переводит многогранник в себя. Сечение икосаэдра такой плоскостью имеет форму прямоугольника.

Поскольку существует 15 пар противоположных ребер, икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: 15.

в) додекаэдр

Правильный додекаэдр — платоново тело с 12 гранями (правильные пятиугольники), 30 ребрами и 20 вершинами. Додекаэдр является двойственным к икосаэдру, а это значит, что они имеют одинаковую группу симметрии ($I_h$) и одинаковое число элементов симметрии.

Следовательно, додекаэдр имеет столько же плоскостей симметрии, сколько и икосаэдр.

Как и в случае с икосаэдром, у додекаэдра 30 ребер, которые образуют 15 пар противоположных ребер. Каждая пара противоположных ребер определяет уникальную плоскость симметрии, проходящую через них и центр додекаэдра. Сечение додекаэдра такой плоскостью представляет собой правильный шестиугольник.

Таким образом, додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: 15.