Номер 5.22, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.22. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии

Примером такой пространственной фигуры может служить косой параллелепипед. Это параллелепипед, у которого грани являются параллелограммами, но в общем случае не прямоугольниками, а ребра не перпендикулярны граням.

Наличие центра симметрии: Центром симметрии любого параллелепипеда является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O$. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Для любой точки $M$, принадлежащей параллелепипеду, точка $M'$, симметричная ей относительно центра $O$ (то есть такая, что вектор $\vec{OM'} = -\vec{OM}$), также будет принадлежать этому параллелепипеду. Таким образом, косой параллелепипед имеет центр симметрии.

Отсутствие оси симметрии: Ось симметрии предполагает, что фигура совпадает сама с собой при повороте вокруг этой оси на угол, меньший $360^\circ$. В общем случае у косого параллелепипеда (относящегося к триклинной сингонии в кристаллографии) длины ребер, а также диагоналей граней и пространственных диагоналей могут быть попарно различны. Любой поворот является движением и сохраняет расстояния. Так как расстояния от центра симметрии до вершин в общем случае различны, никакой поворот (кроме тривиального на $360^\circ$) не сможет перевести каждую вершину в другую вершину фигуры, сохраняя при этом фигуру в целом. Следовательно, у общего косого параллелепипеда нет осей симметрии.

Другим примером может служить фигура, составленная из двух одинаковых, но асимметричных объектов (например, двух кроссовок, левого и правого), расположенных так, что один является результатом центральной симметрии другого относительно некоторой точки в пространстве.

Ответ: косой параллелепипед.

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии

Примером такой пространственной фигуры является прямой круговой конус.

Наличие оси симметрии: Прямая, проходящая через вершину конуса и центр его круглого основания, является его осью симметрии. При повороте конуса вокруг этой оси на любой угол он совмещается сам с собой. Это происходит потому, что все точки его боковой поверхности находятся на одинаковом расстоянии от оси на соответствующей высоте.

Отсутствие центра симметрии: Предположим, что у конуса есть центр симметрии $O$. Тогда для каждой точки фигуры $M$ симметричная ей точка $M'$ также должна принадлежать фигуре. Возьмем вершину конуса $A$. Симметричная ей точка $A'$ относительно предполагаемого центра $O$ должна была бы также лежать на конусе. Однако, где бы ни находилась точка $O$ на оси симметрии, точка $A'$ окажется за пределами конуса (ниже его основания). Так как для вершины конуса не существует симметричной ей точки внутри фигуры, у конуса нет центра симметрии.

Другими примерами могут служить: правильная пирамида (например, треугольная или четырехугольная), прямой призма с основанием в виде правильного многоугольника с нечетным числом сторон (например, треугольника), полусфера.

Ответ: прямой круговой конус.