Номер 5.16, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.16 Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 5.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 5.19)?

Рис. 5.18

Рис. 5.19

а) Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат, а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. Любая плоскость симметрии правильной пирамиды должна проходить через ее вершину и содержать ось симметрии ее основания.
Основание пирамиды, квадрат, имеет 4 оси симметрии:
1. Две оси, которые проходят через середины противолежащих сторон.
2. Две оси, которые проходят через противолежащие вершины (диагонали).
Каждая из этих осей симметрии основания вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, у правильной четырехугольной пирамиды есть два типа плоскостей симметрии:
– Две плоскости, проходящие через диагонали основания и вершину пирамиды. Каждая такая плоскость содержит два противоположных боковых ребра.
– Две плоскости, проходящие через средние линии основания (отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон) и вершину пирамиды. Каждая такая плоскость содержит апофемы двух противоположных боковых граней.
Всего получаем $2 + 2 = 4$ плоскости симметрии.
Ответ: 4

б) Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник, а ее вершина проецируется в центр этого шестиугольника. Как и в предыдущем случае, плоскости симметрии пирамиды определяются осями симметрии ее основания.
Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии:
1. Три оси, которые проходят через противолежащие вершины.
2. Три оси, которые проходят через середины противолежащих сторон.
Каждая из этих шести осей симметрии основания вместе с вершиной пирамиды задает плоскость симметрии. Таким образом, у правильной шестиугольной пирамиды есть два типа плоскостей симметрии:
– Три плоскости, проходящие через большие диагонали основания (соединяющие противолежащие вершины) и вершину пирамиды.
– Три плоскости, проходящие через отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон основания, и вершину пирамиды.
Всего получаем $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: 6