Номер 5.15, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.15 Сколько осей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 5.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 5.19)?

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Осью симметрии (или осью вращательной симметрии) пространственной фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\alpha$, где $0^\circ < \alpha < 360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Необходимо найти количество таких осей для двух видов правильных пирамид.

а) В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр квадрата в основании.

Рассмотрим прямую, проходящую через вершину $S$ и центр основания $O$. Эта прямая является высотой пирамиды и перпендикулярна плоскости основания.Основание-квадрат имеет центр симметрии $O$. При повороте квадрата вокруг оси $SO$ на угол $90^\circ$ (или $180^\circ$, $270^\circ$) он совмещается сам с собой. Вершины квадрата переходят друг в друга (например, при повороте на $90^\circ$ вершина $A$ переходит в $B$, $B$ в $C$, $C$ в $D$ и $D$ в $A$).При таком повороте всей пирамиды вокруг оси $SO$:

• Вершина $S$, лежащая на оси, остается на месте.
• Основание-квадрат совмещается само с собой.
• Так как все боковые ребра правильной пирамиды равны ($SA=SB=SC=SD$) и все боковые грани — равные равнобедренные треугольники, то при повороте боковые ребра и грани также переходят друг в друга.

Следовательно, вся пирамида совмещается сама с собой. Это означает, что прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии. Это ось симметрии 4-го порядка.

Проверим наличие других осей. Любая другая возможная ось симметрии должна была бы проходить через вершину $S$ (иначе вершина при повороте сместится) или лежать в плоскости основания. Если ось лежит в плоскости основания (например, совпадает с диагональю квадрата или линией, соединяющей середины противоположных сторон), то при повороте на $180^\circ$ вершина $S$ перейдет в точку $S'$ симметрично плоскости основания, и пирамида не совместится сама с собой. Если же предположить существование другой оси, проходящей через $S$, то она пересекала бы основание не в центре, и при повороте вокруг нее основание не могло бы совместиться с собой.

Таким образом, у правильной четырехугольной пирамиды существует только одна ось симметрии.

Ответ: 1.

б) В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Вершина пирамиды проецируется в центр этого шестиугольника. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр шестиугольника в основании.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, рассмотрим прямую, проходящую через вершину $S$ и центр основания $O$.Основание — правильный шестиугольник. При повороте вокруг оси $SO$ на угол $60^\circ$ (или кратный ему: $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$) шестиугольник совмещается сам с собой.При повороте всей пирамиды вокруг оси $SO$:

• Вершина $S$ остается неподвижной.
• Основание-шестиугольник совмещается само с собой.
• Боковые ребра и грани, равные между собой в силу того, что пирамида правильная, переходят друг в друга.

Следовательно, прямая, соединяющая вершину и центр основания, является осью симметрии 6-го порядка.

По тем же соображениям, что и в случае с четырехугольной пирамидой, никакая другая прямая не может быть осью симметрии для правильной шестиугольной пирамиды. Любая ось, не проходящая через вершину $S$, сместит ее при повороте. Любая ось, проходящая через $S$, но не через центр основания $O$, не позволит основанию совместиться с самим собой при повороте.

Таким образом, у правильной шестиугольной пирамиды, как и у любой правильной $n$-угольной пирамиды, существует только одна ось симметрии.

Ответ: 1.