Номер 5.19, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.19 Сколько осей симметрии имеет:
а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 5.22)?

Рис. 5.22

а) Октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 8 граней (равносторонние треугольники), 12 ребер и 6 вершин. Оси симметрии (оси вращения) октаэдра можно классифицировать по элементам, через которые они проходят:

1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У октаэдра 6 вершин, которые образуют 3 пары противоположных. Поворот вокруг такой оси на $90^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, поэтому это оси 4-го порядка. Таких осей 3.

2. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У октаэдра 8 граней (треугольники), которые образуют 4 пары противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 4.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У октаэдра 12 ребер, которые образуют 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 6.

Суммируя количество осей всех типов, получаем общее количество осей симметрии: $3 + 4 + 6 = 13$.
Ответ: 13 осей симметрии.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 граней (равносторонние треугольники), 30 ребер и 12 вершин. Оси симметрии икосаэдра:

1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У икосаэдра 12 вершин, образующих 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $72^\circ$ ($360^\circ/5$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 5-го порядка. Таких осей 6.

2. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У икосаэдра 20 граней, образующих 10 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ ($360^\circ/3$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 10.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У икосаэдра 30 ребер, образующих 15 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ ($360^\circ/2$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 15.

Общее количество осей симметрии равно: $6 + 10 + 15 = 31$.
Ответ: 31 ось симметрии.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 12 граней (правильные пятиугольники), 30 ребер и 20 вершин. Додекаэдр является двойственным многогранником к икосаэдру, поэтому он имеет ту же группу вращательных симметрий и, следовательно, то же количество осей симметрии. Оси симметрии додекаэдра:

1. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У додекаэдра 12 граней (пятиугольники), образующих 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $72^\circ$ ($360^\circ/5$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 5-го порядка. Таких осей 6.

2. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У додекаэдра 20 вершин, образующих 10 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ ($360^\circ/3$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 10.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У додекаэдра 30 ребер, образующих 15 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ ($360^\circ/2$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 15.

Общее количество осей симметрии равно: $6 + 10 + 15 = 31$.
Ответ: 31 ось симметрии.