Номер 5.23, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.23 Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии

Для решения этой задачи вспомним определения.
Центр симметрии — это такая точка $O$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей точка $M'$ (для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$) также принадлежит этой фигуре. Такое преобразование называется центральной симметрией.
Плоскость симметрии — это такая плоскость $\alpha$, что при зеркальном отражении относительно неё фигура переходит сама в себя.

Нам необходимо найти пространственную фигуру, которая обладает центральной симметрией, но не обладает зеркальной симметрией ни относительно какой плоскости.

Примером такой фигуры может служить косой параллелепипед, у которого все грани — параллелограммы, не являющиеся ни прямоугольниками, ни ромбами.

Почему у него есть центр симметрии? У любого параллелепипеда точка пересечения его диагоналей является центром симметрии. Каждая вершина при симметрии относительно этого центра переходит в противоположную вершину, каждая грань — в параллельную ей грань, и вся фигура в целом переходит сама в себя.

Почему у него может не быть плоскости симметрии? Если грани параллелепипеда являются параллелограммами общего вида (не прямоугольниками и не ромбами) и он "скошен" (то есть боковые ребра не перпендикулярны основаниям), то у него, как правило, нет ни одной плоскости, относительно которой он был бы симметричен. Любая попытка провести плоскость симметрии нарушит либо равенство углов, либо длин отрезков при отражении.

Другой простой пример: фигура, образованная двумя одинаковыми скрещивающимися отрезками, у которых общий центр является их серединой. Такая фигура имеет центр симметрии, но не имеет плоскости симметрии.

Ответ: Косой параллелепипед, грани которого не являются ни прямоугольниками, ни ромбами.

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии

Вспомним определение оси симметрии.
Ось симметрии — это такая прямая $l$, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\phi$ (где $0^\circ < \phi < 360^\circ$) фигура совмещается сама с собой.

Фигуры, имеющие ось симметрии, но не имеющие плоскостей симметрии, называются хиральными (как, например, левая и правая рука).

Классическим примером такой фигуры является пропеллер (винт).

Почему у него есть ось симметрии? Рассмотрим обычный трёхлопастный пропеллер. Прямая, проходящая через его центр перпендикулярно плоскости вращения лопастей, является осью симметрии. При повороте вокруг этой оси на угол $120^\circ$ ($=360^\circ/3$) каждая лопасть занимает положение следующей, и вся фигура в целом совмещается сама с собой.

Почему у него нет плоскости симметрии?

• Плоскость, содержащая ось симметрии: Отражение относительно такой плоскости изменит направление изгиба (закрутки) лопастей. Например, если лопасти были загнуты по часовой стрелке, их отражения будут загнуты против часовой стрелки. Таким образом, отраженная фигура не совпадёт с исходной.
• Плоскость, перпендикулярная оси симметрии: Отражение относительно этой плоскости также изменит "направление" винта. Например, правый винт (закручивающийся по часовой стрелке при движении вперед) при отражении станет левым винтом. Фигура не перейдет сама в себя.

Другими примерами могут служить винтовая лестница или отрезок спирали (пружины).

Ответ: Фигура в форме пропеллера или винта.