Номер 5.18, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.18 Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Рассмотрим плоскости симметрии правильной $n$-угольной призмы, которая представляет собой прямую призму с правильным $n$-угольником в основании. Такие плоскости бывают двух видов.

1. Вертикальные плоскости симметрии. Они перпендикулярны основаниям и проходят через ось призмы. Каждая такая плоскость определяется осью симметрии правильного $n$-угольника, лежащего в основании. Правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии. Если $n$ нечетно, оси соединяют вершину с серединой противолежащей стороны. Если $n$ четно, $n/2$ осей соединяют противоположные вершины и $n/2$ осей соединяют середины противоположных сторон. В обоих случаях общее число осей, а следовательно, и вертикальных плоскостей симметрии, равно $n$.

2. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и делит ее высоту пополам. Такая плоскость всего одна. Эта симметрия существует, так как оба основания призмы являются одинаковыми правильными $n$-угольниками.

Общее количество плоскостей симметрии равно сумме числа вертикальных плоскостей и одной горизонтальной.

Ответ: $n+1$.

б) n-угольной пирамиды

У правильной $n$-угольной пирамиды в основании лежит правильный $n$-угольник, а вершина проецируется в центр этого основания.

Любая плоскость симметрии такой пирамиды обязана проходить через ее вершину и ось (отрезок, соединяющий вершину с центром основания). Это означает, что все плоскости симметрии являются вертикальными, то есть перпендикулярными основанию. Горизонтальной плоскости симметрии у пирамиды нет.

След такой плоскости на основании пирамиды является осью симметрии этого основания. Как известно, правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии. Каждая из этих осей вместе с осью пирамиды задает одну плоскость симметрии.

Таким образом, число плоскостей симметрии правильной $n$-угольной пирамиды равно числу осей симметрии ее основания.

Ответ: $n$.