Номер 5.11, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11.Имеет ли центр симметрии наклонный параллелепипед (рис. 5.21)?

$D_1$ $C_1$ $A_1$ $B_1$ $D$ $C$ $A$ $B$

Рис. 5.21

Да, наклонный параллелепипед, как и любой другой параллелепипед, имеет центр симметрии.

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.

Для любого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (включая наклонный) его четыре большие диагонали ($AC_1$, $BD_1$, $A_1C$ и $B_1D$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка пересечения диагоналей и является центром симметрии параллелепипеда.

Обозначим точку пересечения диагоналей буквой $O$. При симметрии относительно точки $O$ происходит следующее:

1. Каждая вершина параллелепипеда отображается на противоположную ей вершину. Например, поскольку $O$ является серединой диагонали $AC_1$, вершина $A$ симметрична вершине $C_1$. Аналогично, вершина $B$ симметрична $D_1$, $C$ — $A_1$, и $D$ — $B_1$.

2. Каждое ребро отображается на параллельное ему противоположное ребро. Например, ребро $AB$ симметрично ребру $C_1D_1$.

3. Каждая грань отображается на параллельную ей противоположную грань. Например, грань $ABCD$ симметрична грани $A_1B_1C_1D_1$.

Поскольку при симметрии относительно точки $O$ все элементы параллелепипеда (вершины, ребра, грани) переходят в элементы этого же параллелепипеда, то и любая точка, лежащая на поверхности или внутри фигуры, перейдет в точку, также принадлежащую этому параллелепипеду. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Ответ: да, имеет. Центром симметрии наклонного параллелепипеда является точка пересечения его диагоналей.