Номер 5.5, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.5 Имеет ли правильная шестиугольная призма (рис. 5.17):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.17

Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. У такой призмы боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основаниям.

а) центр симметрии;

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре.
Правильная шестиугольная призма имеет центр симметрии. Этот центр $O$ является серединой отрезка, соединяющего центры $O_{нижн}$ и $O_{верхн}$ ее оснований.
При симметрии относительно точки $O$ каждая вершина одного основания переходит в противолежащую ей вершину другого основания (например, вершина $A$ переходит в вершину $D_1$, вершина $B$ — в $E_1$ и т.д.). Любая точка на боковой поверхности или внутри призмы также перейдет в точку, принадлежащую призме. Следовательно, вся призма отображается на себя.
Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии;

Осью симметрии фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, не равный $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильная шестиугольная призма имеет 7 осей симметрии:
1. Одна ось симметрии шестого порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований призмы. Поворот вокруг этой оси на углы $60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$ совмещает призму с собой.
2. Шесть осей симметрии второго порядка. Все они лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит ровно посередине между ними (через центр симметрии призмы). Поворот вокруг каждой из этих осей на $180^\circ$ совмещает призму с собой. Эти оси делятся на два типа:
- Три оси, проходящие через середины противолежащих боковых ребер (например, через середины ребер $AA_1$ и $DD_1$).
- Три оси, проходящие через середины противолежащих боковых граней (например, через центры граней $ABB_1A_1$ и $EDD_1E_1$).
Таким образом, всего $1 + 3 + 3 = 7$ осей симметрии.
Ответ: да, имеет (7 осей).

в) плоскости симметрии?

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Правильная шестиугольная призма имеет 7 плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы (через ее центр симметрии). Она делит призму на верхнюю и нижнюю половины, которые являются зеркальными отражениями друг друга.
2. Шесть вертикальных плоскостей симметрии. Все они перпендикулярны основаниям и проходят через главную ось симметрии. Эти плоскости делятся на два типа:
- Три диагональные плоскости, каждая из которых проходит через пару противолежащих вершин оснований (например, через вершины $A, D, D_1, A_1$).
- Три плоскости, каждая из которых проходит через середины противолежащих сторон оснований (например, через середины сторон $AB$ и $ED$).
Таким образом, всего $1 + 3 + 3 = 7$ плоскостей симметрии.
Ответ: да, имеет (7 плоскостей).