Номер 5.6, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.6 Имеет ли правильная четырехугольная пирамида (рис. 5.18):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.18

а)Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура является симметричной. Предположим, что у правильной четырехугольной пирамиды есть центр симметрии $O$. Тогда для любой точки фигуры, например, для вершины $S$, должна существовать симметричная ей точка $S'$, также принадлежащая пирамиде. Однако, для вершины $S$ такой симметричной точки нет. Точка, симметричная вершине $S$ относительно любой точки $O$ внутри пирамиды, будет находиться вне фигуры (под основанием). Таким образом, правильная четырехугольная пирамида не имеет центра симметрии.
Ответ: нет.

б)Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол (не равный $360^\circ$) фигура переходит сама в себя. У правильной четырехугольной пирамиды есть одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и центр ее основания (точку пересечения диагоналей квадрата). При повороте вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ пирамида совмещается сама с собой. Основание (квадрат) переходит в себя, а боковые грани меняются местами. Других осей симметрии у данной фигуры нет.
Ответ: да, одна ось симметрии.

в)Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально симметричные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии.
1. Две "диагональные" плоскости, каждая из которых проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ основания. Например, плоскость, проходящая через вершины $S, A, C$, является плоскостью симметрии, так как она зеркально отображает одну половину пирамиды (содержащую ребро $SB$) на другую (содержащую ребро $SD$). Аналогично для плоскости, проходящей через вершины $S, B, D$.
2. Две плоскости, проходящие через вершину $S$ и средние линии квадрата в основании. Каждая такая плоскость проходит через середины противолежащих сторон основания и вершину $S$. Например, плоскость, проходящая через $S$ и середины сторон $AB$ и $CD$, делит пирамиду на две зеркально равные части.
Итого у правильной четырехугольной пирамиды 4 плоскости симметрии.
Ответ: да, четыре плоскости симметрии.