Номер 5.2, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.2 Имеет ли куб (рис. 5.14):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.14

а) центр симметрии Да, куб имеет центр симметрии. Центром симметрии куба является точка пересечения его пространственных диагоналей (например, диагоналей $AC_1$ и $BD_1$). Эта точка является серединой любой пространственной диагонали, а также серединой любого отрезка, соединяющего центры противоположных граней или середины противоположных ребер. Для любой точки $M$, принадлежащей кубу, точка $M'$, симметричная ей относительно центра симметрии, также принадлежит кубу. Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии Да, куб имеет оси симметрии. Всего у куба 13 осей симметрии, которые можно разделить на три типа. Первый тип – это 3 оси, проходящие через центры противоположных граней (повороты на $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ совмещают куб с собой). Второй тип – это 6 осей, проходящих через середины противоположных ребер (поворот на $180^\circ$ совмещает куб с собой). Третий тип – это 4 оси, совпадающие с четырьмя пространственными диагоналями куба (повороты на $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещают куб с собой). Суммарно получается $3 + 6 + 4 = 13$ осей. Ответ: да, имеет.

в) плоскости симметрии Да, куб имеет плоскости симметрии. Всего у куба 9 плоскостей симметрии, которые можно разделить на два типа. Первый тип – это 3 плоскости, проходящие через середины четырех параллельных ребер. Каждая такая плоскость параллельна паре противоположных граней и проходит ровно посередине между ними. Второй тип – это 6 диагональных плоскостей. Каждая такая плоскость проходит через два противоположных ребра куба (например, через ребра $AD$ и $B_1C_1$). Суммарно получается $3 + 6 = 9$ плоскостей. Ответ: да, имеет.