Номер 5.9, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.9. Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых.

5.9. Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры, точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Иными словами, преобразование центральной симметрии относительно точки $O$ переводит фигуру в себя.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух различных параллельных прямых, которые мы обозначим как $l_1$ и $l_2$.

Пусть точка $O$ является центром симметрии данной фигуры. Возьмем произвольную точку $A$ на прямой $l_1$. Симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ должна также принадлежать фигуре, то есть лежать либо на $l_1$, либо на $l_2$.

Если бы точка $A'$ лежала на той же прямой $l_1$, то это означало бы, что прямая $l_1$ симметрична сама себе относительно $O$. Это возможно, только если точка $O$ лежит на прямой $l_1$. Однако, если центр симметрии $O$ лежит на прямой $l_1$, то для любой точки $B$ на прямой $l_2$, симметричная ей точка $B'$ не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. Таким образом, ни одна точка, принадлежащая самим прямым, не может быть центром симметрии для всей фигуры.

Следовательно, для любой точки $A$ на прямой $l_1$, симметричная ей точка $A'$ должна лежать на прямой $l_2$. Аналогично, для любой точки $B$ на $l_2$, симметричная ей точка $B'$ должна лежать на $l_1$. Это означает, что центральная симметрия с центром в точке $O$ отображает прямую $l_1$ на прямую $l_2$ и наоборот.

Такое отображение возможно только в том случае, если центр симметрии $O$ равноудален от обеих прямых. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух параллельных прямых, представляет собой прямую, параллельную данным и проходящую точно посередине между ними.

Докажем это строго. Введем декартову систему координат. Расположим наши прямые так, чтобы они были параллельны оси абсцисс. Пусть уравнение прямой $l_1$ будет $y=d$, а уравнение прямой $l_2$ будет $y=-d$, где $d>0$. Прямая, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, — это ось абсцисс, ее уравнение $y=0$.

Возьмем любую точку $O$ на этой средней прямой. Ее координаты будут $(x_0, 0)$. Проверим, является ли она центром симметрии.

1. Пусть $A(x_a, d)$ — произвольная точка на прямой $l_1$. Найдем координаты симметричной ей точки $A'(x', y')$ относительно $O$. По формуле середины отрезка:$x_0 = \frac{x_a + x'}{2} \Rightarrow x' = 2x_0 - x_a$$0 = \frac{d + y'}{2} \Rightarrow y' = -d$Точка $A'$ имеет координаты $(2x_0 - x_a, -d)$, а значит, она лежит на прямой $l_2$ и принадлежит фигуре.

2. Пусть $B(x_b, -d)$ — произвольная точка на прямой $l_2$. Найдем координаты симметричной ей точки $B'(x'', y'')$ относительно $O$:$x_0 = \frac{x_b + x''}{2} \Rightarrow x'' = 2x_0 - x_b$$0 = \frac{-d + y''}{2} \Rightarrow y'' = d$Точка $B'$ имеет координаты $(2x_0 - x_b, d)$, а значит, она лежит на прямой $l_1$ и принадлежит фигуре.

Поскольку любая точка на прямой $y=0$ удовлетворяет условию центра симметрии, все точки этой прямой являются центрами симметрии. Если же взять точку $C(x_c, y_c)$ с $y_c \neq 0$, то для точки $A(x_a, d)$ на $l_1$ симметричная ей точка $A'$ будет иметь ординату $y' = 2y_c - d$. Так как $y_c \neq 0$ и $y_c \neq d$, то $y'$ не будет равно ни $d$, ни $-d$, а значит, точка $A'$ не будет принадлежать фигуре. Таким образом, никакая точка вне серединной прямой не является центром симметрии.

Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная этим двум прямым и находящаяся на одинаковом расстоянии от каждой из них (то есть проходящая посередине между ними).