Номер 5.10, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10 Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из:

а) двух пересекающихся плоскостей;

б) двух параллельных плоскостей.

а) Центром симметрии фигуры называется такая точка $C$, что для любой точки $P$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $C$ точка $P'$ также принадлежит этой фигуре.
Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия их пересечения — прямая $l$. Фигура $F$ представляет собой объединение этих двух плоскостей: $F = \alpha \cup \beta$.
Рассмотрим любую точку $C$, принадлежащую прямой $l$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $C \in \alpha$ и $C \in \beta$.
1. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$. Так как и точка $P$, и центр симметрии $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и симметричная точка $P'$ относительно $C$ также будет лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, $P'$ принадлежит фигуре $F$.
2. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$. Аналогично, так как и $P$, и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и симметричная точка $P'$ будет лежать в плоскости $\beta$. Следовательно, $P'$ принадлежит фигуре $F$.
Таким образом, любая точка на линии пересечения плоскостей является центром симметрии данной фигуры.
Если выбрать точку-центр симметрии вне прямой $l$ (например, в плоскости $\alpha$, но не на $l$), то для точки $P$ из плоскости $\beta$ (также не лежащей на $l$) симметричная ей точка $P'$ не будет принадлежать ни одной из плоскостей $\alpha$ или $\beta$, а значит, и всей фигуре.
Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся плоскостей, есть прямая пересечения этих плоскостей.

б) Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Фигура $F$ представляет собой их объединение: $F = \alpha \cup \beta$.
Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$ и расположена ровно посередине между ними (то есть равноудалена от них).
Выберем любую точку $C$ в плоскости $\gamma$ в качестве потенциального центра симметрии.
1. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно центра $C$, будет находиться на прямой $PC$ на таком же расстоянии от $C$, но с другой стороны. Поскольку плоскость $\gamma$ равноудалена от $\alpha$ и $\beta$, точка $P'$ окажется в плоскости $\beta$. Так как $\beta$ является частью фигуры $F$, то $P' \in F$.
2. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$. По аналогии, симметричная ей относительно $C$ точка $P'$ окажется в плоскости $\alpha$. Так как $\alpha$ является частью фигуры $F$, то $P' \in F$.
Следовательно, любая точка плоскости $\gamma$ является центром симметрии фигуры $F$.
Если выбрать центр симметрии $C$ не в плоскости $\gamma$, то симметрия будет нарушена. Например, если $C \in \alpha$, то для любой точки $P \in \beta$ симметричная точка $P'$ не попадет ни в $\alpha$, ни в $\beta$.
Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных плоскостей, есть плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.