Номер 5.3, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.3 Имеет ли правильный тетраэдр (рис. 5.15):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 5.15

а) Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична. Если бы у правильного тетраэдра существовал центр симметрии, то для каждой его вершины (например, D) нашлась бы другая симметричная ей вершина. Однако в тетраэдре напротив каждой вершины лежит грань, а не другая вершина. Таким образом, точка, симметричная любой вершине тетраэдра относительно его единственного возможного центра (центра масс), будет лежать вне тетраэдра. Следовательно, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Ответ: нет.

б) Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на угол, меньший $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильный тетраэдр имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа. Первый тип — оси, проходящие через вершину и центр противоположной грани. Таких осей 4, и поворот вокруг них на $120^\circ$ или $240^\circ$ совмещает тетраэдр с собой. Второй тип — оси, проходящие через середины двух противоположных (скрещивающихся) ребер. Таких осей 3, и поворот вокруг них на $180^\circ$ совмещает тетраэдр с собой. Всего у правильного тетраэдра $4 + 3 = 7$ осей симметрии. Ответ: да, имеет 7 осей симметрии.

в) Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. У правильного тетраэдра плоскости симметрии проходят через любое ребро и середину скрещивающегося с ним ребра. Такая плоскость является плоскостью симметрии, так как отражение в ней меняет местами две оставшиеся вершины, а вершины, принадлежащие ребру в плоскости, остаются на месте. Поскольку у тетраэдра 6 ребер, он имеет 6 таких плоскостей симметрии. Ответ: да, имеет 6 плоскостей симметрии.