Номер 4.24, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.24. Повторите определения центральной симметрии и осевой симметрии на плоскости

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это вид симметрии, при котором фигура или точка отображается относительно некоторой фиксированной точки, называемой центром симметрии.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой и расстояния $AO$ и $OA'$ равны. Сам центр симметрии $O$ считается симметричным самому себе. Преобразование, которое каждой точке $A$ сопоставляет симметричную ей точку $A'$, называется центральной симметрией относительно центра $O$.

Фигура называется центрально-симметричной, если она совпадает сама с собой при симметрии относительно некоторой точки. Эта точка называется центром симметрии фигуры. Например, окружность симметрична относительно своего центра, а параллелограмм — относительно точки пересечения его диагоналей.

Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это вид симметрии, при котором фигура или точка отображается относительно некоторой фиксированной прямой, называемой осью симметрии.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ (оси симметрии), если прямая $l$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что должны выполняться два условия: во-первых, отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ ($AA' \perp l$), и, во-вторых, их точка пересечения является серединой отрезка $AA'$. Если точка $A$ лежит на оси симметрии $l$, то она считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой $l$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая $l$ называется осью симметрии фигуры. Например, у равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии, у прямоугольника — две, а у окружности — бесконечно много.

Осевая симметрия также является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.