Номер 4.19, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.19. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 4.2. Отметьте центры граней октаэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1 см.

Для решения задачи рассмотрим правильный октаэдр — многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Вершинами какого многогранника они являются?
Процесс соединения центров граней правильного многогранника порождает другой правильный многогранник, который называется двойственным (или дуальным) к исходному. У правильного октаэдра 8 граней (равносторонние треугольники) и 6 вершин. У двойственного ему многогранника количество вершин будет равно количеству граней исходного (8), а количество граней — количеству вершин исходного (6). Многогранник с 8 вершинами и 6 квадратными гранями — это куб (правильный гексаэдр). Следовательно, центры граней октаэдра являются вершинами куба.
Ответ: Центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1 см.
Длина ребра полученного куба равна расстоянию между центрами двух любых соседних граней исходного октаэдра. Пусть ребро октаэдра равно $a = 1$ см.
Для нахождения этого расстояния удобно расположить октаэдр в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпал с началом координат, а его шесть вершин лежали на осях на одинаковом расстоянии $L$ от центра. Координаты вершин будут: $(\pm L, 0, 0)$, $(0, \pm L, 0)$, $(0, 0, \pm L)$.
Найдем связь между параметром $L$ и длиной ребра октаэдра $a$. Ребро — это отрезок, соединяющий две соседние вершины, например, $V_1(L, 0, 0)$ и $V_2(0, L, 0)$. Найдем расстояние между ними по формуле:
$a = \sqrt{(L-0)^2 + (0-L)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}$.
Отсюда выразим $L$: $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Поскольку по условию $a = 1$ см, то $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$ см.
Теперь найдем координаты центров двух соседних граней. Центр грани, являющейся равносторонним треугольником, совпадает с ее центроидом. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин.
Рассмотрим грань с вершинами $V_1(L, 0, 0)$, $V_2(0, L, 0)$ и $V_3(0, 0, L)$. Координаты ее центра $C_1$:
$C_1 = \left(\frac{L+0+0}{3}, \frac{0+L+0}{3}, \frac{0+0+L}{3}\right) = \left(\frac{L}{3}, \frac{L}{3}, \frac{L}{3}\right)$.
Рассмотрим соседнюю с ней грань с вершинами $V_1(L, 0, 0)$, $V_4(0, -L, 0)$ и $V_3(0, 0, L)$. Эти грани имеют общее ребро $V_1V_3$. Координаты центра второй грани $C_2$:
$C_2 = \left(\frac{L+0+0}{3}, \frac{0-L+0}{3}, \frac{0+0+L}{3}\right) = \left(\frac{L}{3}, -\frac{L}{3}, \frac{L}{3}\right)$.
Длина ребра куба $b$ — это расстояние между точками $C_1$ и $C_2$:
$b = \sqrt{\left(\frac{L}{3}-\frac{L}{3}\right)^2 + \left(\frac{L}{3}-\left(-\frac{L}{3}\right)\right)^2 + \left(\frac{L}{3}-\frac{L}{3}\right)^2} = \sqrt{0^2 + \left(\frac{2L}{3}\right)^2 + 0^2} = \frac{2L}{3}$.
Теперь подставим ранее найденное выражение для $L$: $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$b = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2a}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a}{3\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Так как по условию $a = 1$ см, ребро куба равно:
$b = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ см.