Номер 4.21, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.21. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 4.5. Отметьте центры граней додекаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 4.5.

Решение для этого и следующего пункта представлено на рисунке ниже. Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел), состоящий из 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Для его изображения на плоскости используется перспективная проекция. На рисунке показан додекаэдр, где сплошные линии обозначают видимые ребра, а пунктирные — скрытые от наблюдателя.

Ответ: Изображение додекаэдра представлено на рисунке ниже.

Отметьте центры граней додекаэдра.

Центр грани — это ее геометрический центр. На представленном ниже рисунке центры всех 12 граней додекаэдра отмечены красными точками. Если соединить эти точки, как показано синими линиями, можно увидеть очертания нового многогранника.

Ответ: Центры граней отмечены на рисунке красными точками.

Вершинами какого многогранника они являются?

Точки, являющиеся центрами граней додекаэдра, образуют вершины нового многогранника. Процесс построения нового многогранника путем соединения центров граней исходного называется построением двойственного (или дуального) многогранника. Давайте определим, что это за многогранник.

1. Вершины. Исходный многогранник, додекаэдр, имеет $F_Д = 12$ граней. Каждая грань порождает одну вершину в двойственном многограннике. Следовательно, новый многогранник будет иметь 12 вершин.

2. Грани. В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани (и 3 ребра). Если мы соединим центры этих трех соседних граней, мы получим треугольник. Этот треугольник и будет гранью двойственного многогранника. Так как у додекаэдра $V_Д = 20$ вершин, двойственный многогранник будет иметь 20 треугольных граней.

3. Ребра. Каждое ребро додекаэдра разделяет две смежные грани. Ребро двойственного многогранника соединяет центры этих двух смежных граней. Таким образом, количество ребер у двойственного многогранника равно количеству ребер у исходного. У додекаэдра $E_Д = 30$ ребер, значит, и у нового многогранника их будет 30.

Итак, мы ищем многогранник, у которого 12 вершин, 20 треугольных граней и 30 ребер. Такой многогранник называется икосаэдром.

Икосаэдр также является одним из пяти Платоновых тел. Додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару: центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра, и наоборот, центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра. На рисунке выше синими линиями показан икосаэдр, вписанный в додекаэдр.

Ответ: Вершинами являются вершины икосаэдра.