Номер 4.20, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.20. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке 4.3. Отметьте центры граней икосаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

Задача состоит из практической части (построение икосаэдра и отметка центров его граней) и теоретической (определение полученного многогранника). Поскольку в текстовом формате невозможно выполнить построение на бумаге, предоставим развернутое решение для теоретического вопроса.

Вершинами какого многогранника они являются?

Процесс, описанный в задаче, — это построение двойственного (или дуального) многогранника. Двойственный многогранник строится путем размещения вершин в центрах граней исходного многогранника и их последующего соединения.

Исходный многогранник — это икосаэдр. Это правильный многогранник, один из пяти платоновых тел. Его свойства:

• Количество граней (правильные треугольники): $F_{икосаэдр} = 20$.

• Количество вершин: $V_{икосаэдр} = 12$. В каждой вершине сходится 5 граней.

• Количество ребер: $E_{икосаэдр} = 30$.

Для двойственного многогранника ($M$) количество вершин и граней меняется местами по сравнению с исходным, а количество ребер остается тем же:

• Количество вершин многогранника $M$ будет равно количеству граней икосаэдра: $V_M = F_{икосаэдр} = 20$.

• Количество граней многогранника $M$ будет равно количеству вершин икосаэдра: $F_M = V_{икосаэдр} = 12$.

• Количество ребер остается неизменным: $E_M = E_{икосаэдр} = 30$.

Теперь определим форму граней многогранника $M$. Каждая грань двойственного многогранника формируется вокруг одной из вершин исходного. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 треугольных граней. Центры этих пяти граней образуют вершины одной грани многогранника $M$. Следовательно, каждая грань $M$ является пятиугольником. Так как икосаэдр — правильный многогранник, его двойственный многогранник также будет правильным, а его грани — правильными пятиугольниками.

Правильный многогранник, имеющий 12 граней в виде правильных пятиугольников, 20 вершин и 30 ребер, называется додекаэдром. Додекаэдр также является платоновым телом и двойственен икосаэдру.

Таким образом, точки, являющиеся центрами граней икосаэдра, служат вершинами додекаэдра.

Ответ: Центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.