Номер 4.22, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.22. Сколько имеется путей длиной $3 \text{ см}$ по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противолежащую вершину?

Единичный икосаэдр — это правильный многогранник, у которого все ребра имеют длину 1. В данном случае 1 см. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти количество путей, состоящих из 3 ребер, которые ведут из одной вершины икосаэдра в противолежащую ей вершину.

Икосаэдр имеет 12 вершин, 30 ребер и 20 граней. Каждая вершина соединена с 5 другими, то есть степень каждой вершины равна 5.

Обозначим начальную вершину как $V_0$, а противолежащую ей (антиподальную) вершину как $V_{end}$. Все 12 вершин икосаэдра можно разделить на группы в зависимости от их кратчайшего расстояния (измеряемого в количестве ребер) от $V_0$:

1. Вершины на расстоянии 0 от $V_0$: сама вершина $V_0$ (1 вершина).

2. Вершины на расстоянии 1 от $V_0$: это 5 вершин, непосредственно соединенных с $V_0$ ребром. Обозначим это множество как $S_1$.

3. Вершины на расстоянии 3 от $V_0$: это единственная противолежащая вершина $V_{end}$. Кратчайшее расстояние между противолежащими вершинами икосаэдра как раз равно 3 ребрам.

4. Вершины на расстоянии 2 от $V_0$: это все остальные $12 - 1 - 5 - 1 = 5$ вершин. Обозначим это множество как $S_2$.

Мы ищем количество путей длины 3. Путь длины 3 — это последовательность из четырех вершин $(v_0, v_1, v_2, v_3)$, где $v_0 = V_0$, $v_3 = V_{end}$, и между любыми двумя соседними вершинами в последовательности есть ребро.

Поскольку кратчайшее расстояние от $V_0$ до $V_{end}$ составляет 3 ребра, любой искомый путь длины 3 является кратчайшим. Это означает, что на каждом шаге пути мы должны удаляться от $V_0$. Следовательно, путь не может содержать повторяющихся вершин и должен проходить последовательно через определенные группы вершин:$V_0 \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow V_{end}$, где $v_1 \in S_1$ и $v_2 \in S_2$.

Теперь посчитаем количество таких путей, анализируя каждый шаг:

Шаг 1: Из $V_0$ в вершину из $S_1$.
Из начальной вершины $V_0$ выходит 5 ребер. Каждое из них ведет в одну из 5 вершин множества $S_1$. Таким образом, существует 5 способов сделать первый шаг.

Шаг 2: Из вершины $v_1 \in S_1$ в вершину из $S_2$.
Возьмем любую вершину $v_1$ из множества $S_1$. Степень этой вершины равна 5. Одно ребро соединяет её с $V_0$. Два других ребра соединяют ее с двумя соседними вершинами в $S_1$ (так как 5 соседей $V_0$ образуют на поверхности икосаэдра пятиугольник). Оставшиеся $5 - 1 - 2 = 2$ ребра должны вести к вершинам, которые не являются ни $V_0$, ни вершинами из $S_1$. Это могут быть только вершины из множества $S_2$. Значит, из любой вершины в $S_1$ есть ровно 2 ребра, ведущих в $S_2$. Таким образом, на втором шаге у нас есть 2 варианта.

Шаг 3: Из вершины $v_2 \in S_2$ в $V_{end}$.
По симметрии икосаэдра, множество $S_2$ — это в точности множество 5 вершин, смежных с $V_{end}$. Поэтому каждая вершина $v_2 \in S_2$ соединена с $V_{end}$ ровно одним ребром. Следовательно, на третьем шаге есть только 1 вариант для завершения пути.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге:$N = 5 \times 2 \times 1 = 10$.

Ответ: 10.