Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.22. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии

Примером такой пространственной фигуры может служить косой параллелепипед. Это параллелепипед, у которого грани являются параллелограммами, но в общем случае не прямоугольниками, а ребра не перпендикулярны граням.

Наличие центра симметрии: Центром симметрии любого параллелепипеда является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O$. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Для любой точки $M$, принадлежащей параллелепипеду, точка $M'$, симметричная ей относительно центра $O$ (то есть такая, что вектор $\vec{OM'} = -\vec{OM}$), также будет принадлежать этому параллелепипеду. Таким образом, косой параллелепипед имеет центр симметрии.

Отсутствие оси симметрии: Ось симметрии предполагает, что фигура совпадает сама с собой при повороте вокруг этой оси на угол, меньший $360^\circ$. В общем случае у косого параллелепипеда (относящегося к триклинной сингонии в кристаллографии) длины ребер, а также диагоналей граней и пространственных диагоналей могут быть попарно различны. Любой поворот является движением и сохраняет расстояния. Так как расстояния от центра симметрии до вершин в общем случае различны, никакой поворот (кроме тривиального на $360^\circ$) не сможет перевести каждую вершину в другую вершину фигуры, сохраняя при этом фигуру в целом. Следовательно, у общего косого параллелепипеда нет осей симметрии.

Другим примером может служить фигура, составленная из двух одинаковых, но асимметричных объектов (например, двух кроссовок, левого и правого), расположенных так, что один является результатом центральной симметрии другого относительно некоторой точки в пространстве.

Ответ: косой параллелепипед.

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии

Примером такой пространственной фигуры является прямой круговой конус.

Наличие оси симметрии: Прямая, проходящая через вершину конуса и центр его круглого основания, является его осью симметрии. При повороте конуса вокруг этой оси на любой угол он совмещается сам с собой. Это происходит потому, что все точки его боковой поверхности находятся на одинаковом расстоянии от оси на соответствующей высоте.

Отсутствие центра симметрии: Предположим, что у конуса есть центр симметрии $O$. Тогда для каждой точки фигуры $M$ симметричная ей точка $M'$ также должна принадлежать фигуре. Возьмем вершину конуса $A$. Симметричная ей точка $A'$ относительно предполагаемого центра $O$ должна была бы также лежать на конусе. Однако, где бы ни находилась точка $O$ на оси симметрии, точка $A'$ окажется за пределами конуса (ниже его основания). Так как для вершины конуса не существует симметричной ей точки внутри фигуры, у конуса нет центра симметрии.

Другими примерами могут служить: правильная пирамида (например, треугольная или четырехугольная), прямой призма с основанием в виде правильного многоугольника с нечетным числом сторон (например, треугольника), полусфера.

Ответ: прямой круговой конус.

5.23 Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии

Для решения этой задачи вспомним определения.
Центр симметрии — это такая точка $O$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей точка $M'$ (для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$) также принадлежит этой фигуре. Такое преобразование называется центральной симметрией.
Плоскость симметрии — это такая плоскость $\alpha$, что при зеркальном отражении относительно неё фигура переходит сама в себя.

Нам необходимо найти пространственную фигуру, которая обладает центральной симметрией, но не обладает зеркальной симметрией ни относительно какой плоскости.

Примером такой фигуры может служить косой параллелепипед, у которого все грани — параллелограммы, не являющиеся ни прямоугольниками, ни ромбами.

Почему у него есть центр симметрии? У любого параллелепипеда точка пересечения его диагоналей является центром симметрии. Каждая вершина при симметрии относительно этого центра переходит в противоположную вершину, каждая грань — в параллельную ей грань, и вся фигура в целом переходит сама в себя.

Почему у него может не быть плоскости симметрии? Если грани параллелепипеда являются параллелограммами общего вида (не прямоугольниками и не ромбами) и он "скошен" (то есть боковые ребра не перпендикулярны основаниям), то у него, как правило, нет ни одной плоскости, относительно которой он был бы симметричен. Любая попытка провести плоскость симметрии нарушит либо равенство углов, либо длин отрезков при отражении.

Другой простой пример: фигура, образованная двумя одинаковыми скрещивающимися отрезками, у которых общий центр является их серединой. Такая фигура имеет центр симметрии, но не имеет плоскости симметрии.

Ответ: Косой параллелепипед, грани которого не являются ни прямоугольниками, ни ромбами.

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии

Вспомним определение оси симметрии.
Ось симметрии — это такая прямая $l$, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\phi$ (где $0^\circ < \phi < 360^\circ$) фигура совмещается сама с собой.

Фигуры, имеющие ось симметрии, но не имеющие плоскостей симметрии, называются хиральными (как, например, левая и правая рука).

Классическим примером такой фигуры является пропеллер (винт).

Почему у него есть ось симметрии? Рассмотрим обычный трёхлопастный пропеллер. Прямая, проходящая через его центр перпендикулярно плоскости вращения лопастей, является осью симметрии. При повороте вокруг этой оси на угол $120^\circ$ ($=360^\circ/3$) каждая лопасть занимает положение следующей, и вся фигура в целом совмещается сама с собой.

Почему у него нет плоскости симметрии?

• Плоскость, содержащая ось симметрии: Отражение относительно такой плоскости изменит направление изгиба (закрутки) лопастей. Например, если лопасти были загнуты по часовой стрелке, их отражения будут загнуты против часовой стрелки. Таким образом, отраженная фигура не совпадёт с исходной.
• Плоскость, перпендикулярная оси симметрии: Отражение относительно этой плоскости также изменит "направление" винта. Например, правый винт (закручивающийся по часовой стрелке при движении вперед) при отражении станет левым винтом. Фигура не перейдет сама в себя.

Другими примерами могут служить винтовая лестница или отрезок спирали (пружины).

Ответ: Фигура в форме пропеллера или винта.

5.24 Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии;

б) есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

а) Требуется найти пространственную фигуру, у которой есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии.
Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична (т. е. для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра также принадлежит фигуре).
Примером такой фигуры является прямой круговой конус.
1. Наличие плоскости симметрии: Любая плоскость, проходящая через ось конуса (прямую, соединяющую вершину и центр основания), является его плоскостью симметрии. Таких плоскостей у конуса бесконечно много.
2. Отсутствие центра симметрии: У конуса нет центра симметрии. Если предположить, что он есть, то точка, симметричная вершине конуса относительно этого центра, должна была бы также принадлежать фигуре. Однако эта симметричная точка находилась бы вне конуса, "под" его основанием.
Другие примеры: правильная пирамида, полусфера.

Ответ: Прямой круговой конус, правильная пирамида.

б) Требуется найти пространственную фигуру, у которой есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.
Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой.
Примером такой фигуры является прямая призма, основанием которой служит равнобедренный (но не равносторонний) треугольник.
1. Наличие плоскости симметрии: Такая призма имеет одну плоскость симметрии. Это плоскость, перпендикулярная основаниям призмы и содержащая ось симметрии равнобедренного треугольника (то есть высоту, опущенную на его основание). Эта плоскость делит призму на две зеркально равные части.
2. Отсутствие оси симметрии: У этой призмы нет оси симметрии. Вращение вокруг любой прямой не приведет к самосовмещению фигуры (кроме тривиального поворота на $360^\circ$). Это связано с тем, что основание призмы — равнобедренный треугольник — не имеет вращательной симметрии.
Другой пример: пирамида, в основании которой лежит дельтоид (не ромб). Из негеометрических объектов можно привести в пример кружку с ручкой.

Ответ: Прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный, но не равносторонний, треугольник.

5.25. Повторите определение поворота на плоскости.

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ отображается в точку $M'$ так, что выполняются два условия:

1. Расстояние от точки $M$ до центра поворота $O$ равно расстоянию от точки $M'$ до этого же центра, то есть $OM = OM'$.

2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен заданному углу $\alpha$, то есть $\angle MOM' = \alpha$.

Точка $O$ называется центром поворота, она при повороте остается неподвижной (отображается сама в себя). Угол $\alpha$ называется углом поворота.

Направление поворота задается знаком угла. Положительным направлением принято считать поворот против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Поворот является движением (изометрией), так как он сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Это означает, что любая фигура при повороте переходит в равную ей фигуру.

Ответ: Поворот плоскости вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в точку $M'$ так, что $OM=OM'$ и $\angle MOM' = \alpha$.

1. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра.

Сколько он имеет ребер, если у него 12 вершин:

А) 12; B) 16; C) 18; D) 24?

Для решения этой задачи воспользуемся соотношением, которое связывает количество вершин и ребер в многограннике, известным как лемма о рукопожатиях для графов. Граф, образованный вершинами и ребрами многогранника, обладает свойством, что сумма степеней всех его вершин равна удвоенному числу ребер.

Обозначим количество вершин как $В$, а количество ребер как $Р$.

По условию задачи нам дано:

• Количество вершин $В = 12$.
• Из каждой вершины выходит 3 ребра. Это означает, что степень каждой вершины равна 3.

Сначала найдем сумму степеней всех вершин. Для этого умножим количество вершин на степень каждой вершины:

Сумма степеней = $12 \text{ вершин} \times 3 \text{ ребра/вершина} = 36$.

Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма равна удвоенному количеству ребер ($2Р$), так как каждое ребро соединяет ровно две вершины и, следовательно, вносит вклад в степень двух вершин.

Мы можем записать это в виде формулы:

$2 \times Р = В \times (\text{степень вершины})$

Подставим наши значения:

$2 \times Р = 12 \times 3$

$2 \times Р = 36$

Теперь найдем количество ребер $Р$, разделив обе части уравнения на 2:

$Р = \frac{36}{2}$

$Р = 18$

Таким образом, многогранник имеет 18 ребер. Этот результат соответствует варианту C) из предложенных.

Ответ: 18.

2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится три треугольных грани. Сколько он имеет вершин, если у него 4 грани:

A) 4;

B) 6;

C) 9;

D) 12?

Для решения этой задачи обозначим количество вершин многогранника как В, количество рёбер — Р, а количество граней — Г.

Согласно условию, многогранник имеет 4 грани, то есть $Г=4$. Также указано, что все грани являются треугольными.

Сначала найдем общее количество рёбер многогранника (Р). Каждая из 4-х треугольных граней имеет 3 ребра. Если мы перемножим эти числа, мы посчитаем каждое ребро дважды, так как любое ребро является общим для двух смежных граней. Поэтому для нахождения истинного числа рёбер необходимо результат разделить на 2:

$Р = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, многогранник имеет 6 рёбер.

Далее, из условия известно, что в каждой вершине сходится по три грани, а значит, и по три ребра. Если мы умножим общее количество вершин (В) на 3, мы снова посчитаем каждое ребро дважды (так как ребро соединяет две вершины). Это дает нам вторую формулу для вычисления количества рёбер:

$Р = \frac{В \times 3}{2}$.

Так как мы уже нашли, что $Р = 6$, мы можем подставить это значение в формулу и найти количество вершин В:

$6 = \frac{3 \times В}{2}$

$12 = 3 \times В$

$В = \frac{12}{3} = 4$.

Следовательно, многогранник имеет 4 вершины. Многогранник, описанный в задаче, — это тетраэдр.

Для проверки можно воспользоваться формулой Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.

Подставим наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$, что является верным равенством ($2=2$).

Ответ: A) 4.

3. Гранями выпуклого многогранника являются треугольники.

Сколько он имеет граней, если у него 12 ребер:

А) 6; B) 8; C) 9; D) 12?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством выпуклых многогранников, у которых все грани являются треугольниками. Обозначим количество граней как $Г$, а количество ребер как $Р$.

По условию задачи известно, что:

1. Все грани являются треугольниками. Это значит, что каждая грань имеет 3 ребра.

2. Количество ребер многогранника $Р = 12$.

Чтобы найти связь между количеством граней и количеством ребер, можно рассуждать следующим образом: если мы просуммируем количество ребер каждой грани, то получим $3 \times Г$. Однако в этой сумме каждое ребро многогранника будет посчитано ровно дважды, поскольку любое ребро является общим для двух смежных граней. Отсюда следует формула:

$2 \times Р = 3 \times Г$

Теперь мы можем подставить известное количество ребер $Р = 12$ в эту формулу, чтобы найти количество граней $Г$:

$2 \times 12 = 3 \times Г$

$24 = 3 \times Г$

Решим это простое уравнение относительно $Г$:

$Г = \frac{24}{3}$

$Г = 8$

Таким образом, у многогранника 8 граней.

Для дополнительной проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ – количество вершин. Найдем количество вершин для нашего многогранника:

$В - 12 + 8 = 2$

$В - 4 = 2$

$В = 6$

Многогранник с 8 треугольными гранями, 12 ребрами и 6 вершинами существует – это октаэдр. Расчеты верны.

Ответ: B) 8

4. У выпуклого многогранника 10 вершин и 15 ребер. Сколько у него граней:

A) 5;

B) 7;

C) 9;

D) 12?

Для решения этой задачи используется формула Эйлера для выпуклых многогранников. Она устанавливает связь между числом вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) многогранника:
$В - Р + Г = 2$
По условию задачи нам дано:
Число вершин $В = 10$.
Число рёбер $Р = 15$.
Необходимо найти число граней Г.
Подставим известные значения в формулу Эйлера:
$10 - 15 + Г = 2$
Выполним вычисления в левой части уравнения:
$-5 + Г = 2$
Теперь найдём Г, перенеся -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$Г = 2 + 5$
$Г = 7$
Таким образом, у многогранника 7 граней, что соответствует варианту ответа B).
Ответ: B) 7.

5. У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него ребер:

A) 5;

B) 7;

C) 9;

D) 12?

Для определения количества рёбер выпуклого многогранника можно использовать формулу Эйлера, которая связывает число вершин, рёбер и граней.

Формула Эйлера для выпуклых многогранников гласит: $В - Р + Г = 2$, где:

• $В$ — количество вершин;
• $Р$ — количество рёбер;
• $Г$ — количество граней.

Согласно условию задачи, у нас есть:

Количество вершин $В = 6$.

Количество граней $Г = 5$.

Подставим эти значения в формулу Эйлера, чтобы найти количество рёбер $Р$:

$6 - Р + 5 = 2$

Сгруппируем известные числа:

$11 - Р = 2$

Теперь выразим $Р$ из уравнения:

$Р = 11 - 2$

$Р = 9$

Следовательно, у многогранника 9 рёбер. Примером такого многогранника является треугольная призма. У неё 6 вершин, 5 граней (два треугольных основания и три прямоугольные боковые грани) и 9 рёбер.

Ответ: 9.

6. У выпуклого многогранника 12 ребер и 8 граней. Сколько у него вершин:

А) 6;

В) 7;

С) 8;

D) 9:

Для определения количества вершин выпуклого многогранника воспользуемся формулой Эйлера, которая связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого выпуклого многогранника:
$В - Р + Г = 2$
Из условия задачи нам даны следующие значения:
Количество рёбер $Р = 12$.
Количество граней $Г = 8$.
Необходимо найти количество вершин В.
Подставим известные данные в формулу Эйлера:
$В - 12 + 8 = 2$
Теперь решим полученное уравнение относительно В:
$В - 4 = 2$
$В = 2 + 4$
$В = 6$
Таким образом, у многогранника 6 вершин.

Ответ: 6

7. Сколько граней имеет икосаэдр:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Икосаэдр — это правильный выпуклый многогранник, один из пяти так называемых Платоновых тел. Название «икосаэдр» происходит от древнегреческих слов εἴκοσι (eíkosi), что означает «двадцать», и ἕδρα (hédra), что означает «грань» или «основание». Таким образом, уже из названия можно сделать вывод о количестве граней этой фигуры.

По определению, правильный икосаэдр состоит из 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник. Кроме того, у икосаэдра 12 вершин и 30 рёбер.

Рассмотрим предложенные варианты:

A) 8: 8 граней имеет другой правильный многогранник — октаэдр.

B) 12: 12 граней имеет додекаэдр. Интересно, что у икосаэдра ровно 12 вершин, что делает эти две фигуры дуальными друг другу.

C) 16: Такое количество граней не соответствует ни одному из пяти правильных многогранников (Платоновых тел).

D) 20: Это верное количество граней для икосаэдра.

Следовательно, икосаэдр имеет 20 граней.

Ответ: D) 20

8. Сколько вершин имеет додекаэдр:

A) 8; B) 12; C) 16; D) 20?

Чтобы определить, сколько вершин имеет додекаэдр, можно применить формулу Эйлера для выпуклых многогранников, которая связывает число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$): $В - Р + Г = 2$.

1. Определение числа граней (Г).
Додекаэдр (от греческих слов «δώδεκα» — двенадцать и «ἕδρα» — грань) — это многогранник, состоящий из двенадцати граней. Таким образом, $Г = 12$. В случае правильного додекаэдра, каждая грань является правильным пятиугольником.

2. Расчёт числа рёбер (Р).
Каждая из 12 граней имеет 5 сторон (рёбер). Если перемножить эти числа, получится $12 \times 5 = 60$. Однако, поскольку каждое ребро является общим для двух смежных граней, это произведение необходимо разделить на 2, чтобы избежать двойного подсчёта. $Р = \frac{12 \times 5}{2} = 30$.

3. Нахождение числа вершин (В).
Теперь, зная количество граней и рёбер, мы можем подставить эти значения в формулу Эйлера и вычислить количество вершин: $В - Р + Г = 2$
$В - 30 + 12 = 2$
$В - 18 = 2$
$В = 2 + 18$
$В = 20$.

Таким образом, додекаэдр имеет 20 вершин, что соответствует варианту D) в предложенном списке.

Ответ: 20.