Страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Докажите, что высота цилиндра равна длинам образующих боковой поверхности цилиндра.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр. Его основания представляют собой два равных круга, которые лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$.

1. Высотой цилиндра ($h$) по определению является расстояние между плоскостями его оснований, то есть длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

2. Образующей цилиндра называется отрезок, соединяющий соответствующие точки на окружностях оснований. Пусть $A$ — точка на окружности одного основания, а $A_1$ — соответствующая ей точка на окружности другого основания. Тогда отрезок $AA_1$ является образующей.

3. По свойству прямого кругового цилиндра, все его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что любая образующая, например $AA_1$, является перпендикуляром, проведенным между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

4. Так как и высота $h$, и длина образующей $|AA_1|$ равны расстоянию между одними и теми же параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то их длины равны между собой.

Следовательно, высота цилиндра равна длине его образующей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина любой образующей цилиндра, как перпендикуляра между плоскостями оснований, по определению равна расстоянию между этими плоскостями, что, в свою очередь, является определением высоты цилиндра.

Докажите, что осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

Осевым сечением цилиндра называется сечение, проходящее через его ось. Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований.

1. Пусть плоскость сечения $\gamma$ проходит через ось $OO_1$ цилиндра, где $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно.

2. Эта плоскость пересекает основания цилиндра по диаметрам. Обозначим диаметр нижнего основания как $AB$, а верхнего — как $A_1B_1$.

3. Фигурой, полученной в сечении, является четырехугольник $AA_1B_1B$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ соединяют соответствующие точки на окружностях оснований и, следовательно, являются образующими цилиндра.

4. По свойствам цилиндра, все его образующие параллельны друг другу и равны по длине. Значит, $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$. По признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

5. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны плоскости его оснований. Следовательно, образующая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку $A$, включая диаметр $AB$. Таким образом, угол $\angle A_1AB = 90^\circ$.

6. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.

Следовательно, осевое сечение $AA_1B_1B$ является прямоугольником. Его стороны — это диаметр основания $d = AB$ и высота цилиндра $h = AA_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Осевое сечение образуется двумя диаметрами оснований и двумя образующими. Так как образующие параллельны и равны, а также перпендикулярны диаметрам, полученный четырехугольник является прямоугольником.

Можно ли получить цилиндр вращением плоских фигур, отличных от прямоугольника?

Да, можно получить цилиндр вращением плоских фигур, которые не являются прямоугольниками. Хотя для получения сплошного цилиндра вращением одной связной плоской фигуры эта фигура обязательно должна быть прямоугольником, одна из сторон которого лежит на оси вращения, условие задачи можно выполнить, если рассматривать процесс как результат, полученный от вращения нескольких фигур.

Рассмотрим следующий пример. Пусть нам нужно получить цилиндр с высотой $H$ и радиусом основания $R$. Его можно представить как объединение двух тел вращения, полученных вращением двух треугольников вокруг оси $Oz$, которая совпадает с осью симметрии цилиндра.

Первая фигура
Это прямоугольный треугольник $T_1$ с вершинами в точках с координатами $(0, 0)$, $(R, 0)$ и $(0, H)$. Эта фигура не является прямоугольником. При вращении этого треугольника вокруг оси $Oz$ образуется прямой круговой конус, вершина которого находится в точке $(0, H)$, а основание совпадает с нижним основанием будущего цилиндра.

Вторая фигура
Это прямоугольный треугольник $T_2$ с вершинами в точках $(R, 0)$, $(R, H)$ и $(0, H)$. Эта фигура также не является прямоугольником. При вращении этого треугольника вокруг оси $Oz$ образуется тело, которое представляет собой цилиндр радиусом $R$ и высотой $H$, из которого удалена коническая полость. Эта полость в точности соответствует конусу, полученному при вращении первой фигуры.

Если объединить два полученных тела вращения (конус и цилиндр с конической выемкой), то они идеально дополнят друг друга, образуя сплошной цилиндр с высотой $H$ и радиусом $R$. Таким образом, мы получаем цилиндр путем вращения двух плоских фигур (треугольников), ни одна из которых не является прямоугольником.

Важно отметить, что объединение исходных фигур, треугольников $T_1$ и $T_2$, образует прямоугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(R, 0)$, $(R, H)$ и $(0, H)$. Вращение этого прямоугольника, $T_1 \cup T_2$, и дает искомый цилиндр. Однако, по отдельности фигуры $T_1$ и $T_2$ не являются прямоугольниками, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, это возможно, если рассматривать вращение нескольких фигур, не являющихся прямоугольниками (например, двух треугольников), и последующее объединение полученных тел вращения.