Вопрос?, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Можно ли получить цилиндр вращением плоских фигур, отличных от прямоугольника?

Да, можно получить цилиндр вращением плоских фигур, которые не являются прямоугольниками. Хотя для получения сплошного цилиндра вращением одной связной плоской фигуры эта фигура обязательно должна быть прямоугольником, одна из сторон которого лежит на оси вращения, условие задачи можно выполнить, если рассматривать процесс как результат, полученный от вращения нескольких фигур.

Рассмотрим следующий пример. Пусть нам нужно получить цилиндр с высотой $H$ и радиусом основания $R$. Его можно представить как объединение двух тел вращения, полученных вращением двух треугольников вокруг оси $Oz$, которая совпадает с осью симметрии цилиндра.

Первая фигура
Это прямоугольный треугольник $T_1$ с вершинами в точках с координатами $(0, 0)$, $(R, 0)$ и $(0, H)$. Эта фигура не является прямоугольником. При вращении этого треугольника вокруг оси $Oz$ образуется прямой круговой конус, вершина которого находится в точке $(0, H)$, а основание совпадает с нижним основанием будущего цилиндра.

Вторая фигура
Это прямоугольный треугольник $T_2$ с вершинами в точках $(R, 0)$, $(R, H)$ и $(0, H)$. Эта фигура также не является прямоугольником. При вращении этого треугольника вокруг оси $Oz$ образуется тело, которое представляет собой цилиндр радиусом $R$ и высотой $H$, из которого удалена коническая полость. Эта полость в точности соответствует конусу, полученному при вращении первой фигуры.

Если объединить два полученных тела вращения (конус и цилиндр с конической выемкой), то они идеально дополнят друг друга, образуя сплошной цилиндр с высотой $H$ и радиусом $R$. Таким образом, мы получаем цилиндр путем вращения двух плоских фигур (треугольников), ни одна из которых не является прямоугольником.

Важно отметить, что объединение исходных фигур, треугольников $T_1$ и $T_2$, образует прямоугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(R, 0)$, $(R, H)$ и $(0, H)$. Вращение этого прямоугольника, $T_1 \cup T_2$, и дает искомый цилиндр. Однако, по отдельности фигуры $T_1$ и $T_2$ не являются прямоугольниками, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, это возможно, если рассматривать вращение нескольких фигур, не являющихся прямоугольниками (например, двух треугольников), и последующее объединение полученных тел вращения.