Номер 17, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:

A) 3;

B) 6;

C) 8;

D) 9?

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально симметричные части.

В правильном тетраэдре плоскость симметрии можно провести через любое ребро и середину противоположного ему (скрещивающегося) ребра. Давайте докажем это на примере. Пусть вершины тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Рассмотрим плоскость $\Pi$, которая проходит через ребро $AB$ и середину $M$ противоположного ребра $CD$.

Так как тетраэдр правильный, треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ являются равносторонними и равны между собой. Отрезки $AM$ и $BM$ являются медианами в этих треугольниках. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой, поэтому $AM \perp CD$ и $BM \perp CD$. Это означает, что ребро $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AM$ и $BM$) в плоскости $\Pi$, а значит, ребро $CD$ перпендикулярно самой плоскости $\Pi$.

Поскольку плоскость $\Pi$ перпендикулярна отрезку $CD$ и проходит через его середину $M$, она является его серединным перпендикуляром. При зеркальном отражении относительно плоскости $\Pi$ точки $A$ и $B$ (лежащие в плоскости) остаются на месте, а точки $C$ и $D$ меняются местами. При этом тетраэдр отображается сам на себя (например, ребро $AC$ переходит в ребро $AD$, ребро $BC$ — в $BD$), что доказывает, что $\Pi$ является плоскостью симметрии.

Теперь посчитаем общее количество таких плоскостей. У тетраэдра 6 рёбер. Каждое ребро определяет одну уникальную плоскость симметрии, проходящую через это ребро и середину противоположного ему ребра. Так как рёбер всего 6, то и плоскостей симметрии будет 6. Других видов плоскостей симметрии у правильного тетраэдра нет.

Следовательно, правильный ответ на вопрос "Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:" — 6.

B) 6;

Ответ: 6.