Номер 14, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Чему равна площадь поверхности правильной треугольной призмы, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 1 см:

A) $3 + \sqrt{3}$ см$^2$;

B) $3 + 2\sqrt{3}$ см$^2$;

C) $6 + \sqrt{3}$ см$^2$;

D) $6 + 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Формула для нахождения площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Нахождение площади основания

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Сторона основания по условию задачи равна $a = 2$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим известные значения в формулу:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех одинаковых прямоугольников. Сторонами каждого прямоугольника являются сторона основания $a$ и боковое ребро $h$. По условию $a = 2$ см, а $h = 1$ см.

Площадь боковой поверхности можно найти как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Периметр основания: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6 \cdot 1 = 6$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, мы можем найти площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 6 + 2 \cdot \sqrt{3}$ см².

Полученное значение соответствует варианту D).

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$ см².