Номер 9, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Вершинами какого многогранника являются центры граней правильного тетраэдра:

A) тетраэдра;

B) куба;

C) октаэдра;

D) икосаэдра?

Для решения этой задачи необходимо определить, какой многогранник образуется, если соединить центры граней правильного тетраэдра. Эта операция в геометрии называется построением двойственного многогранника.

1. Анализ исходной фигуры. Правильный тетраэдр — это один из пяти платоновых тел. Он имеет 4 грани, каждая из которых является равносторонним треугольником. Также у него 4 вершины и 6 рёбер.

2. Определение вершин нового многогранника. По условию, вершинами нового многогранника являются центры граней исходного тетраэдра. Поскольку у правильного тетраэдра 4 грани, у искомого многогранника будет 4 вершины.

3. Анализ предложенных вариантов. Сравним количество вершин у многогранников из вариантов ответа:

• А) тетраэдр имеет 4 вершины;
• B) куб имеет 8 вершин;
• C) октаэдр имеет 6 вершин;
• D) икосаэдр имеет 12 вершин.

4. Геометрическое обоснование. Рассмотрим 4 центра граней исходного тетраэдра. Обозначим их $C_1, C_2, C_3, C_4$. В силу полной симметрии правильного тетраэдра, расстояние между центрами любых двух граней будет одинаковым. Это означает, что все шесть отрезков, соединяющих эти четыре точки попарно ($C_1C_2, C_1C_3, C_1C_4, C_2C_3, C_2C_4, C_3C_4$), имеют одинаковую длину. Многогранник, имеющий 4 вершины и 6 равных по длине рёбер, является правильным тетраэдром. Таким образом, многогранник, образованный центрами граней правильного тетраэдра, — это другой, меньший по размеру, правильный тетраэдр. Говорят, что правильный тетраэдр является самодвойственным.

Ответ: A) тетраэдра