Номер 10, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Вершинами какого многогранника являются центры граней куба:

А) тетраэдра;

В) куба;

С) октаэдра;

D) икосаэдра?

Для ответа на этот вопрос нужно определить, какой многогранник образуется, если его вершинами будут центры граней куба.

Сначала посчитаем количество вершин у будущего многогранника. Куб имеет 6 граней (верхнюю, нижнюю и четыре боковые). Поскольку каждая вершина нового многогранника является центром одной из граней куба, у него будет ровно 6 вершин.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

А) тетраэдр: имеет 4 вершины. Этот вариант не подходит.

B) куб: имеет 8 вершин. Этот вариант не подходит.

C) октаэдр: имеет 6 вершин. Этот вариант подходит по количеству вершин.

D) икосаэдр: имеет 12 вершин. Этот вариант не подходит.

Таким образом, только октаэдр имеет необходимое количество вершин.

Для более строгого доказательства можно представить куб в трехмерной системе координат. Пусть центр куба находится в начале координат $O(0, 0, 0)$, а длина его ребра равна 2. Тогда центры его граней будут расположены в точках с координатами $(1, 0, 0)$, $(-1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, -1, 0)$, $(0, 0, 1)$ и $(0, 0, -1)$. Эти шесть точек являются вершинами правильного октаэдра.

Если соединить центр каждой грани с центрами четырех смежных ей граней, то получится многогранник с 8 треугольными гранями и 12 ребрами. Например, центр верхней грани $(0, 0, 1)$ соединяется с центрами четырех боковых граней, образуя четырехскатную пирамиду. Аналогичная пирамида образуется с центром нижней грани. Вместе эти две пирамиды, соединенные основаниями, формируют октаэдр. Это явление известно как двойственность многогранников, где куб и октаэдр являются двойственной парой.

Ответ: C) октаэдра