Страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Вершинами какого многогранника являются центры граней правильного тетраэдра:

A) тетраэдра;

B) куба;

C) октаэдра;

D) икосаэдра?

Для решения этой задачи необходимо определить, какой многогранник образуется, если соединить центры граней правильного тетраэдра. Эта операция в геометрии называется построением двойственного многогранника.

1. Анализ исходной фигуры. Правильный тетраэдр — это один из пяти платоновых тел. Он имеет 4 грани, каждая из которых является равносторонним треугольником. Также у него 4 вершины и 6 рёбер.

2. Определение вершин нового многогранника. По условию, вершинами нового многогранника являются центры граней исходного тетраэдра. Поскольку у правильного тетраэдра 4 грани, у искомого многогранника будет 4 вершины.

3. Анализ предложенных вариантов. Сравним количество вершин у многогранников из вариантов ответа:

• А) тетраэдр имеет 4 вершины;
• B) куб имеет 8 вершин;
• C) октаэдр имеет 6 вершин;
• D) икосаэдр имеет 12 вершин.

4. Геометрическое обоснование. Рассмотрим 4 центра граней исходного тетраэдра. Обозначим их $C_1, C_2, C_3, C_4$. В силу полной симметрии правильного тетраэдра, расстояние между центрами любых двух граней будет одинаковым. Это означает, что все шесть отрезков, соединяющих эти четыре точки попарно ($C_1C_2, C_1C_3, C_1C_4, C_2C_3, C_2C_4, C_3C_4$), имеют одинаковую длину. Многогранник, имеющий 4 вершины и 6 равных по длине рёбер, является правильным тетраэдром. Таким образом, многогранник, образованный центрами граней правильного тетраэдра, — это другой, меньший по размеру, правильный тетраэдр. Говорят, что правильный тетраэдр является самодвойственным.

Ответ: A) тетраэдра

10. Вершинами какого многогранника являются центры граней куба:

А) тетраэдра;

В) куба;

С) октаэдра;

D) икосаэдра?

Для ответа на этот вопрос нужно определить, какой многогранник образуется, если его вершинами будут центры граней куба.

Сначала посчитаем количество вершин у будущего многогранника. Куб имеет 6 граней (верхнюю, нижнюю и четыре боковые). Поскольку каждая вершина нового многогранника является центром одной из граней куба, у него будет ровно 6 вершин.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

А) тетраэдр: имеет 4 вершины. Этот вариант не подходит.

B) куб: имеет 8 вершин. Этот вариант не подходит.

C) октаэдр: имеет 6 вершин. Этот вариант подходит по количеству вершин.

D) икосаэдр: имеет 12 вершин. Этот вариант не подходит.

Таким образом, только октаэдр имеет необходимое количество вершин.

Для более строгого доказательства можно представить куб в трехмерной системе координат. Пусть центр куба находится в начале координат $O(0, 0, 0)$, а длина его ребра равна 2. Тогда центры его граней будут расположены в точках с координатами $(1, 0, 0)$, $(-1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, -1, 0)$, $(0, 0, 1)$ и $(0, 0, -1)$. Эти шесть точек являются вершинами правильного октаэдра.

Если соединить центр каждой грани с центрами четырех смежных ей граней, то получится многогранник с 8 треугольными гранями и 12 ребрами. Например, центр верхней грани $(0, 0, 1)$ соединяется с центрами четырех боковых граней, образуя четырехскатную пирамиду. Аналогичная пирамида образуется с центром нижней грани. Вместе эти две пирамиды, соединенные основаниями, формируют октаэдр. Это явление известно как двойственность многогранников, где куб и октаэдр являются двойственной парой.

Ответ: C) октаэдра

11. Сколько пятиугольников входит в развертку додекаэдра:

A) 8;

B) 12;

C) 16;

D) 20?

Додекаэдр — это правильный многогранник, один из пяти Платоновых тел. Само название "додекаэдр" указывает на количество его граней. Оно происходит от древнегреческих слов "δώδεκα" (додека), что переводится как "двенадцать", и "ἕδρα" (хедра), что означает "грань" или "основание".

Таким образом, додекаэдр — это многогранник, состоящий из 12 граней. Важной характеристикой правильного додекаэдра является то, что все его грани представляют собой правильные пятиугольники.

Развертка многогранника — это его изображение на плоскости, состоящее из всех его граней, соединенных ребрами. Если вырезать развертку и согнуть по ребрам, получится исходный многогранник. Следовательно, количество и форма фигур в развертке полностью соответствуют количеству и форме граней самого многогранника.

Поскольку додекаэдр имеет $12$ граней, и каждая грань является пятиугольником, его развертка будет состоять из $12$ пятиугольников. Сравнивая этот вывод с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — 12.

Ответ: B) 12.

12. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра, ребра которого равны 2 см:

A) $\sqrt{3}$ см²;

B) $2\sqrt{3}$ см²;

C) $3\sqrt{3}$ см²;

D) $4\sqrt{3}$ см²?

Правильный тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех одинаковых граней. Каждая грань является равносторонним треугольником. Площадь полной поверхности тетраэдра равна сумме площадей всех его четырех граней.

Сначала найдем площадь одной грани. Грань представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$, равной длине ребра тетраэдра. По условию, $a = 2$ см.

Формула для вычисления площади равностороннего треугольника:
$S_{\text{грани}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу значение стороны $a = 2$ см:
$S_{\text{грани}} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см²

Поскольку тетраэдр имеет 4 одинаковые грани, его полная площадь поверхности $S_{\text{полн.}}$ вычисляется как произведение площади одной грани на 4:
$S_{\text{полн.}} = 4 \times S_{\text{грани}} = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см²

Этот результат соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) $4\sqrt{3}$ см²

13. Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см, 3 см:

A) 11 $cm^2$;

B) 18 $cm^2$;

C) 22 $cm^2$;

D) 28 $cm^2$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$, где $a$, $b$ и $c$ — это длины его ребер, выходящих из одной вершины (т.е. его длина, ширина и высота).
В соответствии с условием задачи, имеем следующие размеры:
$a = 1$ см
$b = 2$ см
$c = 3$ см
Подставим эти значения в формулу:
$S = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3)$
Выполним последовательно арифметические действия:
$S = 2 \cdot (2 + 6 + 3)$
$S = 2 \cdot 11$
$S = 22$ см²
Таким образом, площадь поверхности данного прямоугольного параллелепипеда составляет 22 см².
Ответ: 22 см².

14. Чему равна площадь поверхности правильной треугольной призмы, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 1 см:

A) $3 + \sqrt{3}$ см$^2$;

B) $3 + 2\sqrt{3}$ см$^2$;

C) $6 + \sqrt{3}$ см$^2$;

D) $6 + 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Формула для нахождения площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Нахождение площади основания

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Сторона основания по условию задачи равна $a = 2$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим известные значения в формулу:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех одинаковых прямоугольников. Сторонами каждого прямоугольника являются сторона основания $a$ и боковое ребро $h$. По условию $a = 2$ см, а $h = 1$ см.

Площадь боковой поверхности можно найти как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Периметр основания: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6 \cdot 1 = 6$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, мы можем найти площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 6 + 2 \cdot \sqrt{3}$ см².

Полученное значение соответствует варианту D).

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$ см².

15. Сколько осей симметрии имеет куб:

A) $3$; B) $6$; C) $8$; D) $9$?

Ось симметрии (или ось вращения) — это воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на определённый угол, тело совмещается само с собой. Чтобы найти общее количество осей симметрии куба, необходимо рассмотреть все возможные типы таких осей.

Оси, проходящие через центры противоположных граней
У куба 6 граней, которые образуют 3 пары параллельных друг другу граней. Через центры каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на угол $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ или $270^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 3 таких оси.

Оси, проходящие через середины противоположных рёбер
У куба 12 рёбер, которые образуют 6 пар противоположных рёбер. Через середины каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на угол $180^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 6 таких осей.

Оси, проходящие через противоположные вершины
У куба 8 вершин, которые образуют 4 пары противоположных вершин. Прямые, соединяющие противоположные вершины, являются главными диагоналями куба. При повороте вокруг такой оси на угол $120^{\circ}$ или $240^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 4 таких оси.

Общее количество осей симметрии
Суммируя все типы осей, мы получаем общее количество осей симметрии куба:
$3 + 6 + 4 = 13$ осей.

Анализ предложенных вариантов и вывод
Полученный нами правильный ответ (13 осей) отсутствует среди предложенных вариантов: А) 3; B) 6; C) 8; D) 9. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи.
Часто в таких задачах путают оси симметрии с плоскостями симметрии. Давайте подсчитаем количество плоскостей симметрии у куба:
1. Плоскости, проходящие через середины противоположных рёбер и параллельные граням. Таких плоскостей 3.
2. Диагональные плоскости, проходящие через противоположные рёбра. Таких плоскостей 6.
Итого: $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.
Это число совпадает с вариантом ответа D). Вероятнее всего, авторы вопроса допустили ошибку и имели в виду именно плоскости симметрии. Исходя из этого предположения, следует выбрать вариант D.

Ответ: D) 9.

16. Сколько осей симметрии имеет правильная пятиугольная призма:

A) 5;

B) 6;

C) 8;

D) 9?

Правильная пятиугольная призма — это призма, основаниями которой являются два равных правильных пятиугольника, а боковые грани — пять равных прямоугольников, перпендикулярных основаниям. Оси симметрии такой фигуры можно разделить на два вида.

1. Ось симметрии, проходящая через центры оснований. Основанием является правильный пятиугольник. Правильный пятиугольник имеет ось вращения 5-го порядка, которая проходит через его центр перпендикулярно плоскости пятиугольника. Для призмы эта ось также будет осью симметрии 5-го порядка. Поворот вокруг этой оси на угол, кратный $360^\circ / 5 = 72^\circ$, совмещает призму саму с собой. Такая ось только **одна**.

2. Оси симметрии, лежащие в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину высоты призмы. Эти оси являются осями симметрии 2-го порядка (поворот на $180^\circ$). Их количество и расположение определяются осями симметрии правильного пятиугольника в плоскости. У правильного пятиугольника 5 осей симметрии: каждая из них проходит через вершину и середину противолежащей стороны. В призме этим линиям соответствуют 5 осей вращения 2-го порядка. Каждая такая ось проходит через центр призмы, а также через середину одного из боковых ребер и центр противоположной ему прямоугольной грани. Таким образом, существует **пять** таких осей.

Суммируя количество осей обоих видов, получаем общее количество осей симметрии правильной пятиугольной призмы: $1 + 5 = 6$.

Ответ: 6

17. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:

A) 3;

B) 6;

C) 8;

D) 9?

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально симметричные части.

В правильном тетраэдре плоскость симметрии можно провести через любое ребро и середину противоположного ему (скрещивающегося) ребра. Давайте докажем это на примере. Пусть вершины тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Рассмотрим плоскость $\Pi$, которая проходит через ребро $AB$ и середину $M$ противоположного ребра $CD$.

Так как тетраэдр правильный, треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ являются равносторонними и равны между собой. Отрезки $AM$ и $BM$ являются медианами в этих треугольниках. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой, поэтому $AM \perp CD$ и $BM \perp CD$. Это означает, что ребро $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AM$ и $BM$) в плоскости $\Pi$, а значит, ребро $CD$ перпендикулярно самой плоскости $\Pi$.

Поскольку плоскость $\Pi$ перпендикулярна отрезку $CD$ и проходит через его середину $M$, она является его серединным перпендикуляром. При зеркальном отражении относительно плоскости $\Pi$ точки $A$ и $B$ (лежащие в плоскости) остаются на месте, а точки $C$ и $D$ меняются местами. При этом тетраэдр отображается сам на себя (например, ребро $AC$ переходит в ребро $AD$, ребро $BC$ — в $BD$), что доказывает, что $\Pi$ является плоскостью симметрии.

Теперь посчитаем общее количество таких плоскостей. У тетраэдра 6 рёбер. Каждое ребро определяет одну уникальную плоскость симметрии, проходящую через это ребро и середину противоположного ему ребра. Так как рёбер всего 6, то и плоскостей симметрии будет 6. Других видов плоскостей симметрии у правильного тетраэдра нет.

Следовательно, правильный ответ на вопрос "Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр:" — 6.

B) 6;

Ответ: 6.

18. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма:

A) 3; B) 5; C) 7; D) 9?

Чтобы найти количество плоскостей симметрии правильной шестиугольной призмы, необходимо рассмотреть все возможные виды симметрии для этой геометрической фигуры. Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Ее плоскости симметрии можно разделить на две группы.

1. Горизонтальная плоскость симметрии
Существует одна плоскость, которая параллельна шестиугольным основаниям и делит высоту призмы пополам. Эта плоскость является плоскостью симметрии, так как верхняя часть призмы является зеркальным отражением нижней. Количество таких плоскостей — 1.

2. Вертикальные плоскости симметрии
Эти плоскости перпендикулярны основаниям и проходят через центральную ось призмы. Их количество и расположение определяются осями симметрии правильного шестиугольника, который находится в основании. Правильный шестиугольник имеет всего 6 осей симметрии, которые делятся на два типа:
- Три оси проходят через пары противоположных вершин. Каждая такая ось определяет вертикальную плоскость симметрии. Это дает 3 плоскости.
- Три оси проходят через середины пар противоположных сторон. Каждая такая ось также определяет вертикальную плоскость симметрии. Это дает еще 3 плоскости.
Таким образом, общее количество вертикальных плоскостей симметрии составляет $3 + 3 = 6$.

Итог
Суммируя плоскости из обеих групп, получаем общее число плоскостей симметрии:
$1 \text{ (горизонтальная)} + 6 \text{ (вертикальных)} = 7$.
Этот результат соответствует варианту C) в предложенных ответах.

Ответ: 7

19. Какую форму имеет кристалл поваренной соли:

А) куб;

В) тетраэдр;

С) призма;

D) октаэдр.

19. Поваренная соль, химическая формула которой $NaCl$ (хлорид натрия), является ионным соединением. В твердом состоянии она образует ионную кристаллическую решетку. Тип решетки хлорида натрия — кубическая. Она состоит из двух вложенных друг в друга гранецентрированных кубических подрешеток, образованных ионами натрия ($Na^+$) и хлора ($Cl^−$).

Внешняя форма кристалла, называемая габитусом, является макроскопическим проявлением его внутренней микроскопической структуры. Поскольку кристаллическая решетка поваренной соли обладает кубической симметрией, ее монокристаллы при росте в равновесных условиях принимают форму куба. Это можно легко наблюдать, рассматривая крупинки поваренной или морской соли под микроскопом.

Сравнивая с предложенными вариантами:

А) куб; – Эта форма соответствует кубической сингонии кристаллической решетки $NaCl$.

B) тетраэдр; – Тетраэдрическая форма характерна для веществ с другой кристаллической структурой, например, для алмаза или сфалерита.

C) призма; – Призматическая форма свойственна кристаллам других сингоний, например, гексагональной (кварц) или тетрагональной.

D) октаэдр. – Хотя октаэдр также является одной из простых форм кубической сингонии (например, у алмаза или флюорита), для хлорида натрия наиболее характерной формой является именно куб.

Следовательно, правильным ответом является куб.

Ответ: А) куб;

20. Какую форму имеет кристалл алмаза:
А) куб;

В) тетраэдр;

С) призма;

D) октаэдр.

Алмаз — это аллотропная модификация углерода. Его кристаллы принадлежат к кубической сингонии. В кристаллической решётке алмаза каждый атом углерода находится в состоянии $sp^3$-гибридизации и связан прочными ковалентными связями с четырьмя соседними атомами. Эти соседние атомы расположены в вершинах тетраэдра, поэтому в основе микроструктуры алмаза лежит тетраэдрическая координация (что делает вариант B связанным с внутренним строением).

Несмотря на то, что кристаллическая решётка алмаза относится к кубической системе (что делает вариант A теоретически возможным), а её элементарный строительный блок — тетраэдр, наиболее распространённой и характерной внешней формой (габитусом) природных кристаллов алмаза является октаэдр. Октаэдр — это правильный многогранник с восемью треугольными гранями, двенадцатью рёбрами и шестью вершинами. Эта форма является наиболее энергетически выгодной и устойчивой в естественных условиях формирования алмазов. Форма призмы (вариант C) не характерна для кристаллов кубической сингонии. Следовательно, из предложенных вариантов октаэдр является наиболее правильным ответом.

Ответ: D) октаэдр.