Страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.3. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям?

6.3. Основаниями цилиндра являются два равных и параллельных круга. Когда секущая плоскость параллельна этим основаниям, она пересекает боковую поверхность цилиндра. Каждая точка получившейся в сечении фигуры будет равноудалена от оси цилиндра на расстояние, равное радиусу его оснований. Таким образом, фигура сечения является кругом, который равен (конгруэнтен) основаниям цилиндра.
Ответ: кругом, равным основаниям цилиндра.

6.4. Какая фигура получается вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон этого прямоугольника (рис. 6.9)?

$a$

Рис. 6.9

6.4. Для того чтобы определить, какая фигура получится в результате вращения, проанализируем движение различных частей прямоугольника.

Пусть у нас есть прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Ось вращения, согласно условию, проходит через середины двух противолежащих сторон. Рассмотрим два возможных случая:

1. Ось вращения проходит через середины сторон длиной $a$. В этом случае эта ось будет параллельна сторонам длиной $b$.
2. Ось вращения проходит через середины сторон длиной $b$. В этом случае эта ось будет параллельна сторонам длиной $a$.

Рассмотрим первый случай (второй будет аналогичным). Прямая, являющаяся осью вращения, параллельна двум сторонам прямоугольника (длиной $b$) и перпендикулярна двум другим сторонам (длиной $a$).

При вращении прямоугольника вокруг этой оси:

• Стороны, параллельные оси вращения (две стороны длиной $b$), будут двигаться по кругу, сохраняя постоянное расстояние от оси. Это расстояние равно половине длины перпендикулярной им стороны, то есть $a/2$. Движение этих сторон образует боковую поверхность тела вращения. Так как расстояние до оси постоянно, эта поверхность будет цилиндрической. Высота этой поверхности будет равна длине вращающихся сторон, то есть $H = b$.
• Стороны, которые пересекает ось вращения (две стороны длиной $a$), при вращении образуют два плоских круга. Каждая точка этих отрезков вращается вокруг центра (точки пересечения с осью) и описывает окружность. Все вместе они "заметают" круг. Радиус этих кругов будет равен половине длины этих сторон, то есть $R = a/2$. Эти круги будут являться основаниями тела вращения.

Таким образом, фигура, ограниченная двумя параллельными кругами (основаниями) и цилиндрической поверхностью (боковой поверхностью), называется цилиндром. Высота этого цилиндра будет равна длине стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, а радиус основания — половине длины стороны, перпендикулярной оси вращения.

Ответ: При вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон, получается цилиндр.

6.5. Какая фигура получается при вращении отрезка $AB$ вокруг прямой $a$, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, перпендикулярной ему и не имеющей с отрезком общих точек (рис. 6.10)?

Рис. 6.10

При вращении отрезка $AB$ вокруг прямой $a$, которая ему перпендикулярна и не пересекает его, каждая точка отрезка описывает окружность. Все эти окружности лежат в одной плоскости, а их центры совпадают и находятся в точке пересечения прямой $a$ с прямой, содержащей отрезок $AB$.

Пусть $r_A$ — это расстояние от точки $A$ до оси вращения (прямой $a$), а $r_B$ — это расстояние от точки $B$ до той же оси. Когда отрезок $AB$ вращается, точка $A$ описывает окружность радиусом $r_A$, а точка $B$ описывает окружность радиусом $r_B$.

Поскольку отрезок $AB$ не имеет общих точек с прямой $a$, то оба радиуса $r_A$ и $r_B$ являются положительными числами. Так как $A$ и $B$ — это разные точки, то их расстояния до прямой $a$ не равны, то есть $r_A \neq r_B$. Таким образом, в результате вращения точек $A$ и $B$ получаются две концентрические окружности (окружности с общим центром) разных радиусов.

Каждая точка, лежащая на отрезке $AB$, при вращении также описывает окружность. Радиус этой окружности будет иметь значение между $r_A$ и $r_B$. Вся совокупность точек этих окружностей заполняет область между двумя концентрическими окружностями, описанными точками $A$ и $B$.

Такая плоская фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями, называется круговым кольцом или просто кольцом.

Ответ: круговое кольцо.

6.6. Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, который проходит через ось цилиндра. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона равна диаметру основания цилиндра $d$.

По условию задачи нам даны:

• Радиус основания $r = 2$ см.
• Высота $h = 3$ см.

Сначала найдем диаметр основания цилиндра. Диаметр равен двум радиусам:

$d = 2 \times r = 2 \times 2 = 4$ см.

Таким образом, осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $h = 3$ см и $d = 4$ см. Диагональ этого прямоугольника является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат стороны прямоугольника.

Для нахождения диагонали $D$ воспользуемся теоремой Пифагора:

$D^2 = h^2 + d^2$

Подставим известные значения в формулу:

$D^2 = 3^2 + 4^2$

$D^2 = 9 + 16$

$D^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали:

$D = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

6.7. Найдите радиус основания цилиндра, разверткой боковой поверхности которого является квадрат со стороной 1 см.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — длине окружности его основания ($C$).

Согласно условию задачи, эта развертка представляет собой квадрат со стороной $a = 1$ см. В квадрате все стороны равны, следовательно, высота цилиндра равна длине окружности его основания, и обе эти величины равны стороне квадрата:

$h = C = a = 1$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это искомый радиус основания.

Поскольку мы знаем, что $C = 1$ см, мы можем подставить это значение в формулу и выразить радиус:

$1 = 2 \pi r$

Отсюда находим $r$:

$r = \frac{1}{2 \pi}$

Таким образом, радиус основания цилиндра равен $\frac{1}{2 \pi}$ см.

Ответ: $r = \frac{1}{2 \pi}$ см.

6.8 Найдите площадь:
а) боковой;
б) полной поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Для решения задачи воспользуемся данными: радиус основания цилиндра $r = 1$ см, образующая цилиндра, которая равна его высоте, $h = 2$ см.

а) боковой

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ – это радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Подставим заданные значения в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4\pi$ см².

Ответ: $4\pi$ см².

б) полной

Площадь полной поверхности цилиндра представляет собой сумму площади его боковой поверхности и площадей двух его оснований. Формула имеет вид: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь основания (круга) находится по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Вычислим площадь одного основания:

$S_{осн} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi$ см².

Теперь можем найти площадь полной поверхности, используя уже найденную площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 4\pi \text{ см}^2 + 2 \cdot \pi \text{ см}^2 = 6\pi$ см².

Альтернативно, можно использовать общую формулу для площади полной поверхности цилиндра: $S_{полн} = 2\pi r(h+r)$.

$S_{полн} = 2\pi \cdot 1 \text{ см} \cdot (2 \text{ см} + 1 \text{ см}) = 2\pi \cdot 3 \text{ см}^2 = 6\pi$ см².

Ответ: $6\pi$ см².

6.9. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 6.8. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной плоскости основания этого цилиндра.

Рис. 6.8

Изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 6.8.
Для построения цилиндра на клетчатой бумаге, как на рисунке, следует выполнить несколько шагов. Сначала рисуем нижнее основание в виде эллипса. В трехмерной проекции круг представляется как эллипс. Например, можно взять эллипс шириной 6 клеток и высотой 2 клетки. Дальнюю, невидимую нам, часть дуги эллипса изображаем пунктирной линией, а ближнюю, видимую — сплошной. Затем из крайних левой и правой точек этого эллипса проводим вверх два равных вертикальных отрезка — это образующие цилиндра. Их длина определяет высоту цилиндра (на рисунке — 5 клеток). Наконец, соединяем верхние концы образующих вторым, точно таким же эллипсом, который изображается полностью сплошной линией, так как он виден целиком.
Ответ: Изображение цилиндра строится путем рисования двух оснований в виде эллипсов и двух боковых линий (образующих), соединяющих их, с учетом видимости (пунктирная линия для невидимой части нижнего основания).

Изобразите его сечение плоскостью, параллельной плоскости основания этого цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, которая параллельна его основаниям, всегда представляет собой геометрическую фигуру — круг ($круг$). Радиус этого круга равен радиусу оснований цилиндра. Чтобы изобразить такое сечение на нашем рисунке, мы должны нарисовать еще один эллипс, идентичный по форме и размеру основаниям, расположив его где-либо между верхним и нижним основаниями. Этот эллипс рисуется полностью сплошной линией. Для большей наглядности можно закрасить или заштриховать область внутри этого эллипса, чтобы показать плоскость сечения. Ниже приведен пример такого построения.

Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, который на рисунке изображается как эллипс, расположенный между основаниями и идентичный им по форме.

6.10. На листе бумаги в клетку изобразите цилиндр, аналогичный данному на рисунке 6.8. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого цилиндра. Какой фигурой оно является?

Рис. 6.8

Задача состоит в том, чтобы изобразить цилиндр, провести в нем сечение плоскостью, параллельной его оси, и определить форму этого сечения.

Изобразим цилиндр на листе в клетку. Основания цилиндра — это два равных круга, которые лежат в параллельных плоскостях. Боковая поверхность цилиндра образована множеством параллельных отрезков, называемых образующими, которые соединяют соответствующие точки окружностей оснований. Ось цилиндра — это прямая, проходящая через центры его оснований. Все образующие параллельны оси.

Далее изобразим сечение цилиндра плоскостью, которая параллельна его оси. Такая плоскость пересечет оба основания и боковую поверхность цилиндра. На рисунке ниже показан цилиндр на сетке и его сечение (выделено синим цветом), построенное в соответствии с условием.

Чтобы определить форму полученной фигуры, проанализируем ее свойства:

1. Секущая плоскость пересекает два основания цилиндра, которые лежат в параллельных плоскостях. По свойству параллельных плоскостей, линии пересечения (в данном случае это хорды кругов) будут параллельны друг другу. Так как основания цилиндра равны и плоскость параллельна оси, то эти хорды также будут равны по длине.

2. Секущая плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра по двум образующим. Образующие цилиндра параллельны его оси и, следовательно, параллельны друг другу. Длина этих образующих равна высоте цилиндра $h$.

3. В результате мы получили четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны и равны. Такой четырехугольник является параллелограммом.

4. В прямом круговом цилиндре (именно такой тип цилиндра изображен в задаче) все образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Это значит, что боковые стороны нашего сечения (образующие) перпендикулярны его верхнему и нижнему основаниям (хордам). Следовательно, все углы этого параллелограмма — прямые.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольник.

6.11 Имеет ли цилиндр:

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

а) Да, цилиндр имеет центр симметрии.
Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, что любая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой другой точке той же фигуры. Для прямого кругового цилиндра такой точкой является середина отрезка, соединяющего центры его оснований (середина оси цилиндра). При симметричном отображении относительно этой точки любая точка одного основания переходит в точку другого основания, а любая точка боковой поверхности — в диаметрально противоположную точку боковой поверхности на той же высоте от серединной плоскости. Таким образом, фигура цилиндра переходит сама в себя.
Ответ: Да, цилиндр имеет центр симметрии. Это середина его оси.

б) Да, цилиндр имеет оси симметрии.
Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при повороте вокруг которой на 180° фигура совмещается сама с собой. У цилиндра таких осей бесконечное множество.
1. Ось самого цилиндра (прямая, проходящая через центры оснований) является осью симметрии. Более того, при повороте на любой угол вокруг этой оси цилиндр совмещается сам с собой, что делает ее осью симметрии бесконечного порядка.
2. Любая прямая, проходящая через центр симметрии цилиндра и перпендикулярная его оси, также является осью симметрии. Таких осей бесконечно много, все они лежат в плоскости, делящей высоту цилиндра пополам. При повороте на 180° вокруг такой оси цилиндр переходит сам в себя.
Ответ: Да, цилиндр имеет бесконечно много осей симметрии.

в) Да, цилиндр имеет плоскости симметрии.
Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. У цилиндра таких плоскостей бесконечное множество.
1. Одна плоскость симметрии перпендикулярна оси цилиндра и проходит через ее середину (то есть через центр симметрии). Она делит цилиндр на две равные части, зеркально симметричные друг другу.
2. Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра, является его плоскостью симметрии. Так как через прямую (ось) можно провести бесконечное множество плоскостей, то у цилиндра бесконечно много таких плоскостей симметрии. Каждая из них рассекает цилиндр на две симметричные половины.
Ответ: Да, цилиндр имеет бесконечно много плоскостей симметрии.

6.12 Какая фигура получится при вращении куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой:

a) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 6.11)?

Рис. 6.11

Обозначим длину ребра куба как $s$.

а) Рассмотрим вращение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$. Эта прямая содержит ребро куба.
Фигура, полученная в результате вращения, является телом вращения. Осью вращения является прямая $AA_1$. Высота этого тела будет равна длине отрезка $A_1$, который является ребром куба, то есть высота $h = s$.
Радиус тела вращения определяется максимальным расстоянием от точек куба до оси вращения. Чтобы найти этот радиус, введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось $AA_1$ совпадает с осью $Oz$. Тогда ребра $AB$ и $AD$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Вершины куба будут иметь координаты: $A(0,0,0)$, $B(s,0,0)$, $D(0,s,0)$, $C(s,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $B_1(s,0,s)$, $D_1(0,s,s)$, $C_1(s,s,s)$.
Расстояние от любой точки $(x,y,z)$ до оси вращения $Oz$ вычисляется по формуле $R = \sqrt{x^2 + y^2}$. Нам нужно найти максимальное значение этого расстояния для точек, принадлежащих кубу, то есть для которых $0 \le x \le s$, $0 \le y \le s$, $0 \le z \le s$.
Максимальное значение $R$ достигается при максимальных значениях $x$ и $y$, то есть при $x=s$ и $y=s$. Это соответствует точкам на ребре $CC_1$. Максимальный радиус равен $R_{max} = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$. Это расстояние равно диагонали грани куба.
Поскольку радиус вращения не зависит от высоты $z$ (для любой высоты от $0$ до $s$ поперечное сечение куба — это квадрат, вращение которого заметает круг максимального радиуса), итоговая фигура является прямым круговым цилиндром.
Таким образом, при вращении куба вокруг своего ребра образуется цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен диагонали грани куба ($R=s\sqrt{2}$).

Ответ: Прямой круговой цилиндр, высота которого равна ребру куба, а радиус основания равен диагонали грани куба.

б) Рассмотрим вращение куба вокруг прямой, соединяющей центры его противолежащих граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$). Эта прямая проходит через центр куба и перпендикулярна этим граням.
Высота полученного тела вращения будет равна расстоянию между центрами этих граней, что равно длине ребра куба, то есть $h = s$.
Для нахождения радиуса введем систему координат с началом в центре куба. Пусть ось вращения совпадает с осью $Oz$. Тогда грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ будут лежать в плоскостях $z = -s/2$ и $z = s/2$. Координаты вершин куба будут $(\pm s/2, \pm s/2, \pm s/2)$.
Радиус тела вращения $R$ — это максимальное расстояние от точек куба до оси $Oz$. Расстояние от точки $(x,y,z)$ до оси $Oz$ равно $\sqrt{x^2+y^2}$. Для точек куба $-s/2 \le x \le s/2$ и $-s/2 \le y \le s/2$.
Максимальное значение $R$ достигается, когда $|x|$ и $|y|$ максимальны, то есть $|x|=s/2$ и $|y|=s/2$. Это соответствует точкам на вертикальных ребрах куба. Максимальный радиус равен $R_{max} = \sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2} = \sqrt{s^2/4 + s^2/4} = \sqrt{2s^2/4} = \sqrt{s^2/2} = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.
Это расстояние равно половине диагонали грани куба.
Так как для любой высоты $z$ в диапазоне от $-s/2$ до $s/2$ поперечное сечение куба представляет собой один и тот же квадрат со стороной $s$, вращающийся вокруг своего центра, итоговая фигура является прямым круговым цилиндром.
Таким образом, при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, образуется цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен половине диагонали грани куба ($R=\frac{s\sqrt{2}}{2}$).

Ответ: Прямой круговой цилиндр, высота которого равна ребру куба, а радиус основания равен половине диагонали грани куба.