Страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите образующую конуса.

Радиус основания конуса ($r$), его высота ($h$) и образующая ($l$) связаны соотношением, которое вытекает из теоремы Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус и высота являются катетами, а образующая — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = r^2 + h^2$

В данной задаче нам известны следующие значения:

Радиус основания $r = 3$ см.

Высота $h = 4$ см.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти образующую $l$:

$l^2 = 3^2 + 4^2$

$l^2 = 9 + 16$

$l^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень из 25, чтобы найти длину образующей:

$l = \sqrt{25}$

$l = 5$ см.

Ответ: 5 см.

7.7. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите:

а) радиус основания;

б) высоту конуса.

По условию задачи, осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник со стороной 10 см.

Осевое сечение конуса проходит через его вершину и диаметр основания. В этом треугольнике:
- боковые стороны равны образующей конуса ($l$);
- основание треугольника равно диаметру основания конуса ($d$).

Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны 10 см. Следовательно, образующая конуса $l = 10$ см, и диаметр основания конуса $d = 10$ см. Высота этого треугольника является высотой конуса ($h$).

а) радиус основания
Радиус основания ($r$) равен половине диаметра ($d$).
Формула для нахождения радиуса:
$r = \frac{d}{2}$
Подставляем значение диаметра:
$r = \frac{10}{2} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

б) высоту конуса
Высота конуса ($h$), радиус основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $h$ и $r$ — катеты.
Согласно теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + r^2$
Отсюда можем выразить высоту $h$:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h = \sqrt{l^2 - r^2}$
Подставляем известные значения $l = 10$ см и $r = 5$ см:
$h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75}$
Упрощаем полученное значение:
$h = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.
Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

7.8. Образующая конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите высоту этого конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, его радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике образующая $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами.

Согласно условию задачи, длина образующей $L$ равна 2 см. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между гипотенузой $L$ и катетом $R$. Этот угол, обозначим его $\alpha$, равен $30^\circ$.

В данном прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, который лежит напротив угла $\alpha$.

Для нахождения длины высоты $H$ воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{L}$

Выразим из этой формулы высоту $H$:

$H = L \cdot \sin(\alpha)$

Теперь подставим известные значения: $L = 2$ см и $\alpha = 30^\circ$.

$H = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, произведем вычисление:

$H = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

7.9. Образующая конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите радиус основания этого конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметром основания конуса. Высота конуса, опущенная из вершины на основание, делит этот треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников:

- гипотенуза — это образующая конуса $l$;

- один катет — это радиус основания конуса $r$;

- другой катет — это высота конуса $h$.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей (гипотенузой $l$) и радиусом основания (прилежащим катетом $r$). По условию, этот угол равен $60°$.

Дано:

- образующая $l = 2$ см;

- угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60°$.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, прилежащий катет — это радиус $r$, а гипотенуза — образующая $l$.

Следовательно, мы можем записать соотношение:

$cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Отсюда выразим радиус $r$:

$r = l \cdot cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$r = 2 \cdot cos(60°)$

Так как значение косинуса 60 градусов равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$r = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

7.10. Найдите площадь поверхности конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Формула для площади основания, которое является кругом: $S_{осн} = \pi r^2$.

Формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l$.

Таким образом, итоговая формула для площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$, где $r$ — это радиус основания, а $l$ — это образующая.

В соответствии с условиями задачи, имеем:

Радиус основания $r = 1$ см.

Образующая $l = 2$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{полн} = \pi \cdot 1 \cdot (1 + 2) = \pi \cdot 3 = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$ см$^2$.

7.11. Является ли разверткой боковой поверхности конуса часть круга, изображенная на рисунке 7.7?

Рис. 7.7

Да, является. Разверткой боковой поверхности конуса всегда является круговой сектор. Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой круговой сектор, у которого вырезана одна четверть.

Рассмотрим, можно ли из такого сектора собрать конус. Пусть $L$ – радиус данного кругового сектора. При сворачивании в конус эта величина станет его образующей. Длина дуги этого сектора станет длиной окружности основания конуса.

Центральный угол сектора составляет $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. В радианах это будет $\alpha = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$.

Длина дуги сектора ($C_{дуги}$) вычисляется по формуле $C_{дуги} = \alpha L$. В нашем случае: $C_{дуги} = \frac{3\pi}{2}L$

Эта длина дуги должна быть равна длине окружности основания конуса ($C_{осн}$), радиус которого обозначим как $r$. Формула длины окружности: $C_{осн} = 2\pi r$.

Приравняем длины: $C_{дуги} = C_{осн}$ $\frac{3\pi}{2}L = 2\pi r$

Выразим радиус основания конуса $r$ через его образующую $L$: $r = \frac{3\pi L}{2 \cdot 2\pi} = \frac{3}{4}L$

Для того чтобы конус мог существовать, его образующая $L$ должна быть строго больше радиуса основания $r$. Проверим это условие: $L > r$ $L > \frac{3}{4}L$

Поскольку $L$ — это длина и $L>0$, мы можем разделить обе части неравенства на $L$, получив $1 > \frac{3}{4}$. Это верное неравенство.

Так как условие $L > r$ выполняется, из данного сектора можно свернуть боковую поверхность конуса.

Ответ: Да, является.

7.12. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 7.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого конуса.

Рис. 7.4

7.12. Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала изобразить на клетчатой бумаге конус, аналогичный заданному, а затем построить его сечение плоскостью, параллельной оси конуса.

1. Построение конуса.

Анализируя исходный рисунок 7.4, определяем параметры конуса. Основание конуса — это окружность, которая в данном изображении представлена в виде эллипса. Диаметр основания занимает 6 клеток. Высота конуса $h$, то есть расстояние от вершины до центра основания, составляет 5 клеток. Ось конуса — это отрезок, соединяющий его вершину с центром основания. Мы изобразим на клетчатой бумаге конус с такими же пропорциями.

2. Построение сечения.

Секущая плоскость, по условию, параллельна оси конуса. Это означает, что она пересекает конус, но не проходит через его вершину. В общем случае сечением конуса такой плоскостью является гипербола. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, а боковую поверхность — по двум кривым линиям, которые и являются ветвями гиперболы.

Чтобы изобразить сечение, выполним следующие действия:

• На эллипсе, который изображает основание конуса, нарисуем хорду. Эта хорда — линия пересечения секущей плоскости с основанием.
• От концов этой хорды проведем вверх две симметричные кривые линии по боковой поверхности конуса. Эти линии являются границами сечения на боковой поверхности.
• Заштрихуем фигуру, ограниченную хордой в основании и двумя кривыми на боковой поверхности. Эта заштрихованная область и есть искомое сечение.

Ниже представлен рисунок конуса с построенным сечением.

Ответ: Изображение конуса с сечением, параллельным его оси, представлено на рисунке выше.

7.13. Радиус основания конуса равен 1 см. Через середину высоты этого цилиндра проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Для решения этой задачи следует учесть, что в условии, по-видимому, допущена опечатка: вместо слова "цилиндра" должно быть "конуса", так как в начале условия речь идет именно о конусе.

Пусть дан конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$. По условию, радиус основания $R = 1$ см.

Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Сечение, площадь которого нам нужно найти, является основанием этого меньшего конуса.

Высота меньшего конуса, обозначим ее $h$, равна половине высоты исходного конуса: $h = \frac{H}{2}$

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ и радиусом основания $R$, подобен прямоугольному треугольнику, образованному высотой $h$ и радиусом сечения $r$.

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот: $k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ также равно коэффициенту подобия: $\frac{r}{R} = k = \frac{1}{2}$

Зная, что $R = 1$ см, найдем радиус сечения $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Площадь получившегося сечения ($S$) — это площадь круга с радиусом $r$. Она вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r$: $S = \pi \cdot (0.5)^2 = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$ см$^2$.

7.14. Радиус основания цилиндра равен 1 см, образующая равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого является одно основание цилиндра, а вершиной — центр другого основания этого цилиндра (рис. 7.8).

Рис. 7.8

Согласно условию, конус вписан в цилиндр таким образом, что его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина является центром другого основания. Это означает, что параметры конуса напрямую связаны с параметрами цилиндра:

• Радиус основания конуса $r$ равен радиусу основания цилиндра: $r = 1$ см.
• Высота конуса $h$ равна образующей (и высоте) цилиндра: $h = 2$ см.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — это длина образующей конуса.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Для нахождения длины образующей $l$ воспользуемся теоремой Пифагора:
$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения высоты и радиуса:
$l^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$l = \sqrt{5}$ см.

Теперь, зная радиус основания $r=1$ см и образующую $l=\sqrt{5}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}\pi$ см².

Ответ: $\sqrt{5}\pi$ см².