Номер 7.13, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.13. Радиус основания конуса равен 1 см. Через середину высоты этого цилиндра проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Для решения этой задачи следует учесть, что в условии, по-видимому, допущена опечатка: вместо слова "цилиндра" должно быть "конуса", так как в начале условия речь идет именно о конусе.

Пусть дан конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$. По условию, радиус основания $R = 1$ см.

Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Сечение, площадь которого нам нужно найти, является основанием этого меньшего конуса.

Высота меньшего конуса, обозначим ее $h$, равна половине высоты исходного конуса: $h = \frac{H}{2}$

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ и радиусом основания $R$, подобен прямоугольному треугольнику, образованному высотой $h$ и радиусом сечения $r$.

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот: $k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ также равно коэффициенту подобия: $\frac{r}{R} = k = \frac{1}{2}$

Зная, что $R = 1$ см, найдем радиус сечения $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Площадь получившегося сечения ($S$) — это площадь круга с радиусом $r$. Она вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r$: $S = \pi \cdot (0.5)^2 = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$ см$^2$.