Номер 7.20, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.20 Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.12)?

Рис. 7.12

Фигура, которая получится при вращении, является телом вращения. Осью вращения в данном случае служит прямая, содержащая высоту правильной шестиугольной пирамиды. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) как $O$. Таким образом, осью вращения является прямая $SO$.

Рассмотрим, что происходит с различными частями пирамиды при вращении вокруг оси $SO$:

1. Вершина пирамиды $S$ лежит на оси вращения. Следовательно, при вращении она остается неподвижной. Эта точка станет вершиной (апексом) полученного тела вращения.

2. Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Его центр $O$ также находится на оси вращения и остается на месте. В правильном шестиугольнике все вершины ($A, B, C, D, E, F$) находятся на одинаковом расстоянии от центра $O$. При вращении вокруг оси $SO$ каждая вершина основания описывает окружность, лежащую в плоскости основания, с центром в точке $O$. Так как все вершины равноудалены от центра, они все описывают одну и ту же окружность — ту, что описана около шестиугольника-основания. Вращение всего шестиугольника целиком заметает фигуру, представляющую собой круг. Этот круг будет служить основанием тела вращения.

3. Боковая поверхность пирамиды образована шестью равными между собой равнобедренными треугольниками. Возьмем для примера боковое ребро $SA$. Это отрезок, который соединяет вершину $S$ (лежащую на оси) с точкой основания $A$. Когда этот отрезок вращается вокруг оси $SO$, точка $S$ остается на месте, а точка $A$ движется по окружности в плоскости основания. В результате вращения отрезок $SA$ описывает боковую поверхность конуса. Так как в правильной пирамиде все боковые ребра ($SA, SB, \dots, SF$) равны по длине, все они при вращении опишут одну и ту же коническую поверхность.

Таким образом, в результате вращения правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, получается геометрическое тело, основанием которого является круг, а боковой поверхностью — коническая поверхность. Такое тело называется конусом. Высота полученного конуса равна высоте исходной пирамиды, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, лежащего в основании пирамиды.

Ответ: Конус.