Номер 7.25, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

развертки боковой поверхности этого конуса.

7.25. Крыша силосой башни имеет форму конуса. Высота крыши — 2 м. Диаметр основания башни — 6 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 х 1,4, а на швы идет 10% требующегося железа? (Примите $\pi \approx 3$).

Для решения задачи сперва необходимо найти площадь поверхности крыши, которую нужно покрыть. Крыша представляет собой конус, поэтому искомая площадь — это площадь его боковой поверхности.

1. Найдем радиус основания конуса ($r$). Диаметр основания ($d$) равен 6 м, значит радиус равен его половине:$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

2. Найдем длину образующей конуса ($l$). Высота конуса ($h = 2$ м), радиус основания ($r = 3$ м) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ м.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$), то есть полезную площадь крыши. Используем формулу $S_{бок} = \pi r l$ и заданное в условии приближение $\pi \approx 3$:$S_{бок} \approx 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{13} = 9\sqrt{13}$ м².

4. Определим общую площадь кровельного железа ($S_{общ}$), которая потребуется с учетом отходов. По условию, на швы уходит 10% от требующегося железа. Это означает, что полезная площадь материала (которая пойдет непосредственно на крышу) составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от общего количества купленного железа. Таким образом:$S_{бок} = 0.9 \cdot S_{общ}$Отсюда выразим общую площадь железа:$S_{общ} = \frac{S_{бок}}{0.9} = \frac{9\sqrt{13}}{0.9} = 10\sqrt{13}$ м².

5. Найдем площадь одного листа кровельного железа ($S_{лист}$):$S_{лист} = 0.7 \text{ м} \times 1.4 \text{ м} = 0.98$ м².

6. Рассчитаем, сколько листов железа ($N$) потребуется. Для этого разделим общую требуемую площадь железа на площадь одного листа:$N = \frac{S_{общ}}{S_{лист}} = \frac{10\sqrt{13}}{0.98}$.Для вычисления возьмем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.606$:$N \approx \frac{10 \cdot 3.606}{0.98} = \frac{36.06}{0.98} \approx 36.796$.

Поскольку листы железа продаются целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа, чтобы материала хватило.

Ответ: 37 листов.