Вопрос?, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Можно ли получить усеченный конус вращением неравнобедренной трапеции?

Да, можно. Усеченный конус представляет собой тело вращения, и его можно получить, вращая определенную плоскую фигуру вокруг оси.

Классическим способом получения усеченного конуса является вращение прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям. Давайте проанализируем, является ли такая трапеция равнобедренной.

Рассмотрим прямоугольную трапецию. У нее есть два параллельных основания, которые при вращении образуют основания усеченного конуса. Пусть их длины (которые станут радиусами) равны $R$ и $r$, где $R \neq r$. Одна из боковых сторон перпендикулярна этим основаниям. Ее длина равна высоте трапеции, обозначим ее как $h$. Эта сторона является осью вращения.

Вторая боковая сторона является наклонной. Обозначим ее длину как $l$. Эта сторона при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. В нашем случае боковые стороны имеют длины $h$ и $l$. Чтобы найти связь между ними, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является сторона $l$, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный разности радиусов оснований $(R - r)$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Отсюда длина наклонной боковой стороны равна:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Поскольку для усеченного конуса основания не равны ($R \neq r$), то разность $(R - r)$ не равна нулю, а ее квадрат $(R - r)^2$ является строго положительной величиной. Следовательно:

$l = \sqrt{h^2 + \text{положительное число}} > \sqrt{h^2} = h$

Мы видим, что $l > h$. Так как длины боковых сторон не равны, то прямоугольная трапеция не является равнобедренной (за исключением вырожденного случая, когда $R=r$, и трапеция становится прямоугольником, а тело вращения — цилиндром).

Таким образом, усеченный конус получается вращением неравнобедренной (а именно, прямоугольной) трапеции.

Ответ: да, можно, если вращать прямоугольную трапецию (которая является видом неравнобедренной трапеции) вокруг стороны, перпендикулярной основаниям.