Вопросы, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

3. Что называется высотой усеченного конуса?

4. Что называется осью усеченного конуса?

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

Усеченным конусом называется геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Другое определение: усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Ответ: Тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной ему.

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

Основаниями усеченного конуса называются два круга, которые ограничивают это тело. Один круг является основанием исходного конуса, а второй — сечением, образованным плоскостью, параллельной основанию. Эти круги лежат в параллельных плоскостях.
Ответ: Два круга, ограничивающие усеченный конус, лежащие в параллельных плоскостях.

3. Что называется высотой усеченного конуса?

Высотой усеченного конуса называется отрезок, соединяющий центры его оснований и перпендикулярный им. Длина этого отрезка также называется высотой и представляет собой расстояние между плоскостями оснований.
Ответ: Отрезок, соединяющий центры оснований и перпендикулярный им.

4. Что называется осью усеченного конуса?

Осью усеченного конуса называется прямая, проходящая через центры его оснований. Ось усеченного конуса совпадает с осью исходного конуса, из которого он был получен.
Ответ: Прямая, проходящая через центры его оснований.

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

Осевым сечением усеченного конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, а боковые стороны — образующим конуса.
Ответ: Равнобедренная трапеция, полученная при сечении конуса плоскостью, проходящей через его ось.

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

Разверткой усеченного конуса называется плоская фигура, состоящая из развертки его боковой поверхности и двух его оснований. Развертка боковой поверхности представляет собой часть кругового кольца (сектор кольца), а основания — два круга разных радиусов.
Ответ: Фигура, состоящая из двух кругов (оснований) и части кругового кольца (развертки боковой поверхности).

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и площадей двух его оснований.
Ответ: Сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

Площадью боковой поверхности усеченного конуса называется площадь его криволинейной части, то есть поверхности, образованной вращением боковой стороны прямоугольной трапеции (образующей).
Ответ: Площадь криволинейной поверхности, соединяющей окружности оснований.

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти как разность площадей боковых поверхностей полного конуса и малого конуса, который отсекается от полного.
Пусть $R$ и $r$ — радиусы оснований усеченного конуса ($R > r$), а $l$ — его образующая.
Достроим усеченный конус до полного. Пусть $L_1$ — образующая полного конуса, а $L_2$ — образующая отсеченного малого конуса. Тогда $l = L_1 - L_2$.
Площадь боковой поверхности полного конуса $S_1 = \pi R L_1$.
Площадь боковой поверхности малого конуса $S_2 = \pi r L_2$.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок} = S_1 - S_2 = \pi R L_1 - \pi r L_2$.
Из подобия треугольников в осевом сечении следует: $\frac{r}{R} = \frac{L_2}{L_1}$, откуда $L_2 = L_1 \frac{r}{R}$.
Подставим это в выражение для $l$: $l = L_1 - L_1 \frac{r}{R} = L_1 (1 - \frac{r}{R}) = L_1 \frac{R-r}{R}$.
Выразим $L_1$ и $L_2$ через $l$, $R$ и $r$:
$L_1 = \frac{lR}{R-r}$
$L_2 = L_1 - l = \frac{lR}{R-r} - l = \frac{lR - l(R-r)}{R-r} = \frac{lr}{R-r}$.
Теперь подставим $L_1$ и $L_2$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \pi R \left(\frac{lR}{R-r}\right) - \pi r \left(\frac{lr}{R-r}\right) = \frac{\pi l R^2 - \pi l r^2}{R-r} = \frac{\pi l (R^2 - r^2)}{R-r}$.
Используя формулу разности квадратов $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$, получаем:
$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi l (R+r)$.
Ответ: $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, $l$ — образующая.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{полн}$ равна сумме площади его боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух его оснований: большего $S_{осн1}$ и меньшего $S_{осн2}$.
Площадь большего основания (круга радиусом $R$): $S_{осн1} = \pi R^2$.
Площадь меньшего основания (круга радиусом $r$): $S_{осн2} = \pi r^2$.
Площадь боковой поверхности, как было выведено в предыдущем пункте, равна $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $l$ — образующая усеченного конуса.
Складывая эти три площади, получаем формулу для площади полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$.
Ответ: $S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, $l$ — образующая.