Номер 7.22, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.22. Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противоположные вершины (рис. 7.13). Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным 1 см.

Рис. 7.13

Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины?

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими квадратными основаниями. Прямая, соединяющая противолежащие вершины октаэдра, о которой идет речь в задаче, является осью симметрии и проходит через вершины этих двух пирамид.

При вращении октаэдра вокруг этой прямой каждая из двух пирамид образует тело вращения. Боковая поверхность каждой пирамиды, состоящая из четырех треугольных граней, при вращении формирует боковую поверхность конуса. Вершина пирамиды становится вершиной конуса, а ребра, идущие от вершины к основанию пирамиды, становятся образующими конуса. Основание конуса — это круг, описанный вокруг квадратного основания пирамиды.

Таким образом, фигура, полученная в результате вращения всего октаэдра, будет состоять из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Ответ: Фигура, полученная при вращении, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием.

Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным 1 см.

Площадь поверхности полученной фигуры вращения — это сумма площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Образующая конуса $l$ совпадает с ребром октаэдра, так как именно боковые ребра пирамид (являющиеся ребрами октаэдра) формируют коническую поверхность. По условию задачи, длина ребра октаэдра $a = 1$ см. Следовательно, образующая $l = a = 1$ см.

Радиус общего основания конусов $r$ равен радиусу окружности, описанной вокруг квадрата, который образуют четыре вершины октаэдра, не лежащие на оси вращения. Сторона этого квадрата также равна ребру октаэдра, то есть $a = 1$ см. Радиус $r$ равен половине длины диагонали этого квадрата.

Найдем диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Следовательно, радиус основания конуса $r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Подставив значение $a = 1$ см, получаем $r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².

Поскольку фигура состоит из двух таких конусов, общая площадь ее поверхности $S$ будет вдвое больше:$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: Площадь поверхности фигуры вращения равна $\pi\sqrt{2}$ см².