Номер 7.18, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.18 Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.11)?

Рис. 7.11

Рассмотрим процесс вращения правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABCD$ является квадратом, а высота $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата) проектируется в центр этого квадрата. Прямая, содержащая высоту $SO$, является осью вращения.

При вращении пирамиды вокруг оси $SO$ каждая ее точка, не лежащая на оси, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Точки, лежащие на оси, остаются неподвижными.

Вершина пирамиды, точка $S$, лежит на оси вращения, поэтому она остается на месте. Эта точка станет вершиной полученной фигуры вращения.

Основание пирамиды, квадрат $ABCD$, вращается вокруг своего центра $O$. Все вершины квадрата $A, B, C, D$ равноудалены от центра $O$. При вращении они описывают окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$. Эта окружность ограничивает круг, который образуется при вращении всей площади квадрата. Этот круг будет основанием фигуры вращения.

Боковые ребра пирамиды, например ребро $SA$, соединяют неподвижную вершину $S$ с точками вращающегося основания. При вращении отрезок $SA$ описывает коническую поверхность. Поскольку все боковые ребра правильной пирамиды равны ($SA = SB = SC = SD$), все они формируют одну и ту же коническую поверхность. Длина бокового ребра становится длиной образующей этой поверхности.

В результате мы получаем фигуру, у которой основание — круг, а боковая поверхность — коническая. Такая фигура называется конусом. Высота этого конуса совпадает с высотой пирамиды, вершина — с вершиной пирамиды, а радиус основания равен расстоянию от центра основания пирамиды до одной из его вершин.

Ответ: конус.