Номер 7.17, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.17 Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ (рис. 7.10)? Найдите площадь ее поверхности.

Рис. 7.10

Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ?

Единичный квадрат (со стороной, равной 1) можно разделить его диагональю на два конгруэнтных прямоугольных равнобедренных треугольника. Осью вращения является общая гипотенуза этих треугольников.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы образуется конус. Поскольку квадрат состоит из двух таких треугольников, симметрично расположенных относительно оси вращения, то итоговая фигура вращения будет состоять из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Эта пространственная фигура называется биконусом.

Ответ: Фигура, полученная в результате вращения, — это два одинаковых конуса, соединенные основаниями.

Найдите площадь ее поверхности.

Площадь поверхности полученной фигуры равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Найдем параметры $r$ и $l$ для нашего случая:

1. Образующая конуса ($l$). Образующей конуса является сторона квадрата. Так как квадрат единичный, длина его стороны равна 1. Следовательно, $l = 1$.

2. Радиус основания конуса ($r$). Радиус общего основания двух конусов равен высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу (диагональ квадрата). Эта высота равна половине длины второй диагонали квадрата. Найдем длину диагонали $d$ единичного квадрата по теореме Пифагора: $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $d = \sqrt{2}$. Так как диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам, радиус $r$ равен половине диагонали: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности одного конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.

Полная площадь поверхности фигуры $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса, так как фигура состоит из двух таких конусов:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: Площадь поверхности фигуры равна $\pi\sqrt{2}$.