Номер 7.16, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.16. Какая фигура получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу (рис. 7.9)?

Рис. 7.9

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Осью вращения является прямая, содержащая гипотенузу $AB$.

В процессе вращения треугольника вокруг прямой $AB$ вершины $A$ и $B$, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Вершина прямого угла $C$ движется по окружности в пространстве. Чтобы лучше понять форму получаемого тела, опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

Эта высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Рассмотрим вращение каждого из этих треугольников вокруг оси $AB$:

1. Треугольник $\triangle AHC$ является прямоугольным ($\angle AHC = 90^\circ$). При вращении вокруг своего катета $AH$ (который лежит на оси вращения $AB$) он образует конус. Вершиной этого конуса будет точка $A$, высотой — отрезок $AH$, а радиусом основания — высота исходного треугольника $CH$.

2. Аналогично, треугольник $\triangle BHC$ является прямоугольным ($\angle BHC = 90^\circ$). При вращении вокруг своего катета $BH$ (который также лежит на оси вращения $AB$) он образует второй конус. Вершиной этого конуса будет точка $B$, высотой — отрезок $BH$, а радиусом основания — тот же отрезок $CH$.

В результате вращения всего треугольника $ABC$ получается тело, состоящее из этих двух конусов, которые соединены по своему общему основанию. Это основание представляет собой круг радиусом $CH$, который описывает вершина $C$ при вращении.

Ответ: При вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, получается фигура, состоящая из двух конусов с общим основанием.