Страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основанием которого служит диаметр основания конуса.

Рассмотрим конус с вершиной в точке $P$ и основанием в виде круга с центром в точке $O$. Осью конуса является отрезок $PO$, который по определению перпендикулярен плоскости основания.

Осевое сечение конуса — это фигура, получающаяся при пересечении конуса плоскостью, которая проходит через его ось $PO$.

Данная плоскость пересекает основание конуса по диаметру. Обозначим концы этого диаметра буквами $A$ и $B$. Таким образом, одна из сторон сечения — это отрезок $AB$, который является диаметром основания конуса.

Плоскость сечения также пересекает боковую поверхность конуса по двум линиям, соединяющим вершину $P$ с точками $A$ и $B$ на окружности основания. Эти линии являются отрезками $PA$ и $PB$, которые называются образующими конуса.

В итоге в плоскости сечения образуется треугольник $PAB$, основанием которого является диаметр $AB$ основания конуса, а боковыми сторонами — образующие $PA$ и $PB$.

Чтобы доказать, что треугольник $PAB$ является равнобедренным, необходимо показать, что его боковые стороны равны, то есть $PA = PB$.

По определению прямого кругового конуса, все его образующие (отрезки, соединяющие вершину с точками окружности основания) имеют одинаковую длину. Следовательно, $PA = PB$. Поскольку в треугольнике $PAB$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Это также можно доказать, рассмотрев два прямоугольных треугольника: $\triangle POA$ и $\triangle POB$. В этих треугольниках:
• катет $PO$ (высота конуса) является общим;
• катеты $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности основания;
• углы $\angle POA$ и $\angle POB$ равны $90^\circ$, так как ось $PO$ перпендикулярна плоскости основания.

Следовательно, $\triangle POA = \triangle POB$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $PA = PB$.

Таким образом, осевое сечение конуса — это треугольник $PAB$, у которого стороны $PA$ и $PB$ равны, а основание $AB$ является диаметром основания конуса. Это доказывает, что осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Осевое сечение конуса образуется двумя образующими и диаметром основания. Так как все образующие конуса равны между собой, то треугольник, являющийся осевым сечением, имеет две равные боковые стороны, то есть является равнобедренным. Основанием этого треугольника служит диаметр основания конуса.

Как Вы думаете, можно ли получить конус вращением не прямоугольного и не равнобедренного треугольника?

Нет, получить конус вращением треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным, невозможно. Для того чтобы понять причину, необходимо рассмотреть, как образуются тела вращения.

Конус (в геометрии его чаще называют прямым круговым конусом) — это тело, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Этот катет становится осью вращения и одновременно высотой конуса $h$. Другой катет становится радиусом основания конуса $r$. Гипотенуза же, вращаясь, образует боковую поверхность конуса и называется его образующей $L$.

Ключевым свойством любого тела вращения является его симметрия относительно оси вращения. Если мы рассечем такое тело плоскостью, проходящей через его ось, то в сечении мы получим фигуру, симметричную относительно этой оси. Для конуса осевым сечением является равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса ($2r$), а боковые стороны равны образующей конуса ($L$).

Плоская фигура, вращением которой было получено тело, всегда представляет собой ровно половину его осевого сечения, ограниченную осью вращения. Поскольку осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, а ось вращения — это его ось симметрии (которая также является его высотой), то фигурой вращения может быть только прямоугольный треугольник (половина равнобедренного треугольника).

Таким образом, для получения конуса путем вращения исходный треугольник обязан быть прямоугольным. Условие задачи прямо указывает, что используемый треугольник не является прямоугольным, что приводит к противоречию. Следовательно, такой треугольник не может образовать конус при вращении.

Можно также рассмотреть, какие тела получатся, если вращать разносторонний треугольник, не являющийся прямоугольным. Пусть это треугольник $ABC$.

• Если вращать такой треугольник вокруг одной из его сторон, например $AC$, то итоговое тело будет состоять из двух разных конусов, соединенных общими основаниями (если углы $A$ и $C$ острые), либо из одного большего конуса, из которого "вырезан" меньший конус (если один из углов $A$ или $C$ тупой). Ни одна из этих фигур не является одним цельным конусом.

• Если вращать треугольник вокруг оси, проходящей через одну из его вершин, например $A$, и перпендикулярной противоположной стороне $BC$ (то есть вокруг высоты), то для получения конуса требуется, чтобы вершины $B$ и $C$ были на равном расстоянии от оси. Это возможно только в том случае, если треугольник является равнобедренным ($AB=AC$), что также противоречит условию задачи.

Во всех возможных случаях вращение треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным, приводит к образованию более сложных тел, чем конус.

Ответ: Нет, это невозможно.