Номер 6.4, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. Какая фигура получается вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон этого прямоугольника (рис. 6.9)?

$a$

Рис. 6.9

6.4. Для того чтобы определить, какая фигура получится в результате вращения, проанализируем движение различных частей прямоугольника.

Пусть у нас есть прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Ось вращения, согласно условию, проходит через середины двух противолежащих сторон. Рассмотрим два возможных случая:

1. Ось вращения проходит через середины сторон длиной $a$. В этом случае эта ось будет параллельна сторонам длиной $b$.
2. Ось вращения проходит через середины сторон длиной $b$. В этом случае эта ось будет параллельна сторонам длиной $a$.

Рассмотрим первый случай (второй будет аналогичным). Прямая, являющаяся осью вращения, параллельна двум сторонам прямоугольника (длиной $b$) и перпендикулярна двум другим сторонам (длиной $a$).

При вращении прямоугольника вокруг этой оси:

• Стороны, параллельные оси вращения (две стороны длиной $b$), будут двигаться по кругу, сохраняя постоянное расстояние от оси. Это расстояние равно половине длины перпендикулярной им стороны, то есть $a/2$. Движение этих сторон образует боковую поверхность тела вращения. Так как расстояние до оси постоянно, эта поверхность будет цилиндрической. Высота этой поверхности будет равна длине вращающихся сторон, то есть $H = b$.
• Стороны, которые пересекает ось вращения (две стороны длиной $a$), при вращении образуют два плоских круга. Каждая точка этих отрезков вращается вокруг центра (точки пересечения с осью) и описывает окружность. Все вместе они "заметают" круг. Радиус этих кругов будет равен половине длины этих сторон, то есть $R = a/2$. Эти круги будут являться основаниями тела вращения.

Таким образом, фигура, ограниченная двумя параллельными кругами (основаниями) и цилиндрической поверхностью (боковой поверхностью), называется цилиндром. Высота этого цилиндра будет равна длине стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, а радиус основания — половине длины стороны, перпендикулярной оси вращения.

Ответ: При вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон, получается цилиндр.