Номер 15, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Сколько осей симметрии имеет куб:

A) $3$; B) $6$; C) $8$; D) $9$?

Ось симметрии (или ось вращения) — это воображаемая прямая, при повороте вокруг которой на определённый угол, тело совмещается само с собой. Чтобы найти общее количество осей симметрии куба, необходимо рассмотреть все возможные типы таких осей.

Оси, проходящие через центры противоположных граней
У куба 6 граней, которые образуют 3 пары параллельных друг другу граней. Через центры каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на угол $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ или $270^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 3 таких оси.

Оси, проходящие через середины противоположных рёбер
У куба 12 рёбер, которые образуют 6 пар противоположных рёбер. Через середины каждой такой пары можно провести ось симметрии. При повороте вокруг такой оси на угол $180^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 6 таких осей.

Оси, проходящие через противоположные вершины
У куба 8 вершин, которые образуют 4 пары противоположных вершин. Прямые, соединяющие противоположные вершины, являются главными диагоналями куба. При повороте вокруг такой оси на угол $120^{\circ}$ или $240^{\circ}$ куб будет совмещаться сам с собой.
Таким образом, существует 4 таких оси.

Общее количество осей симметрии
Суммируя все типы осей, мы получаем общее количество осей симметрии куба:
$3 + 6 + 4 = 13$ осей.

Анализ предложенных вариантов и вывод
Полученный нами правильный ответ (13 осей) отсутствует среди предложенных вариантов: А) 3; B) 6; C) 8; D) 9. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи.
Часто в таких задачах путают оси симметрии с плоскостями симметрии. Давайте подсчитаем количество плоскостей симметрии у куба:
1. Плоскости, проходящие через середины противоположных рёбер и параллельные граням. Таких плоскостей 3.
2. Диагональные плоскости, проходящие через противоположные рёбра. Таких плоскостей 6.
Итого: $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.
Это число совпадает с вариантом ответа D). Вероятнее всего, авторы вопроса допустили ошибку и имели в виду именно плоскости симметрии. Исходя из этого предположения, следует выбрать вариант D.

Ответ: D) 9.