Страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой выпуклый многогранник называется правильным?

2. Какой многогранник называется: а) правильным тетраэдром; б) октаэдром; в) икосаэдром; г) гексаэдром; д) додекаэдром?

3. Кто занимался изучением правильных многогранников?

1. Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Существует всего пять видов правильных многогранников, также известных как Платоновы тела. Для всех них выполняется теорема Эйлера о соотношении числа вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$.
Ответ: Выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине которого сходится одинаковое число рёбер.

2.

а) правильным тетраэдром называется многогранник, составленный из четырёх равных равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. У правильного тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный четырьмя равными равносторонними треугольниками.

б) октаэдром называется многогранник, составленный из восьми равных равносторонних треугольников. Он имеет 8 граней, 6 вершин (в каждой сходится по 4 ребра) и 12 рёбер. Его можно представить как две правильные четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями.
Ответ: Многогранник, ограниченный восемью равными равносторонними треугольниками.

в) икосаэдром называется многогранник, составленный из двадцати равных равносторонних треугольников. Он является самым сложным из Платоновых тел по числу граней. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин (в каждой сходится по 5 рёбер) и 30 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный двадцатью равными равносторонними треугольниками.

г) гексаэдром (или кубом) называется многогранник, составленный из шести равных квадратов. Это самый известный из правильных многогранников. Гексаэдр имеет 6 граней, 8 вершин (в каждой сходится по 3 ребра) и 12 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный шестью равными квадратами.

д) додекаэдром называется многогранник, составленный из двенадцати равных правильных пятиугольников. Он имеет 12 граней, 20 вершин (в каждой сходится по 3 ребра) и 30 рёбер.
Ответ: Многогранник, ограниченный двенадцатью равными правильными пятиугольниками.

3. Изучением правильных многогранников занимались многие учёные с глубокой древности. Первые систематические знания приписывают древним грекам. Среди них ключевыми фигурами являются:
• Пифагорейцы (VI век до н.э.), которые, как считается, открыли и изучали свойства тетраэдра, куба и додекаэдра.
• Теэтет Афинский (ок. 417–369 гг. до н.э.), которому приписывают математическое доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.
• Платон (ок. 428–348 гг. до н.э.), который в своём диалоге «Тимей» сопоставил четыре многогранника с классическими стихиями (тетраэдр — огонь, куб — земля, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода), а пятый, додекаэдр, с мирозданием в целом. Из-за этого их часто называют «Платоновыми телами».
• Евклид (ок. 300 г. до н.э.), который в XIII книге своих «Начал» дал полное математическое описание всех пяти правильных многогранников и способы их построения.
Позднее, в эпоху Возрождения, ими занимался Иоганн Кеплер, который использовал их для построения своей космологической модели Солнечной системы.
Ответ: Изучением правильных многогранников занимались учёные Древней Греции, в частности Пифагор, Теэтет Афинский, Платон и Евклид, а позже — Иоганн Кеплер и другие математики.

4.1. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

а) правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Он является одним из пяти платоновых тел.

Грани: По определению, у тетраэдра 4 грани. Все они — правильные треугольники.

Вершины: Тетраэдр можно представить как треугольную пирамиду. У него 3 вершины в основании и 1 вершина вверху (апекс). Итого 4 вершины.

Рёбра: У тетраэдра 3 ребра в основании и 3 боковых ребра, соединяющих вершины основания с апексом. Итого 6 рёбер. Также можно посчитать по-другому: у тетраэдра 4 грани, каждая из которых имеет 3 ребра. Если мы просто умножим $4 \times 3 = 12$, то каждое ребро будет посчитано дважды, так как оно принадлежит двум граням. Поэтому количество рёбер равно $Р = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Подставляем наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: правильный тетраэдр имеет 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани.

б) куб

Куб (или правильный гексаэдр) — это многогранник, все грани которого являются квадратами. Это также одно из платоновых тел.

Грани: По определению, у куба 6 граней, и все они — квадраты.

Вершины: Куб имеет 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем основании. Итого 8 вершин.

Рёбра: У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем основании и 4 боковых ребра, соединяющих основания. Итого $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер. Альтернативный подсчёт: у куба 6 граней, каждая имеет 4 ребра. Каждое ребро общее для двух граней, поэтому число рёбер равно $Р = \frac{6 \times 4}{2} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: куб имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

в) октаэдр

Правильный октаэдр — это многогранник, ограниченный восемью равносторонними треугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "октаэдр" указывает на то, что у него 8 граней (от греческого "окто" — восемь).

Вершины: Октаэдр можно представить как две четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями. У него 1 вершина сверху, 1 вершина снизу и 4 вершины в общей плоскости оснований. Итого 6 вершин. Альтернативный подсчёт: в каждой вершине октаэдра сходятся 4 треугольные грани. Общее число вершин, если считать по граням, равно $8 \times 3 = 24$. Делим на 4, так как каждая вершина принадлежит четырём граням: $В = \frac{8 \times 3}{4} = 6$.

Рёбра: У октаэдра 12 рёбер. Можно посчитать через грани: 8 граней по 3 ребра в каждой, и каждое ребро общее для двух граней. $Р = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 6 - 12 + 8 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: октаэдр имеет 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней.

г) икосаэдр

Правильный икосаэдр — это многогранник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "икосаэдр" говорит о 20 гранях (от греческого "эйкоси" — двадцать).

Рёбра: У икосаэдра 20 треугольных граней. Каждая грань имеет 3 ребра. Каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = \frac{20 \times 3}{2} = 30$.

Вершины: В каждой вершине икосаэдра сходится 5 рёбер (и 5 граней). Каждая грань имеет 3 вершины. Чтобы найти общее число вершин, можно умножить число граней на число вершин в одной грани и разделить на число граней, сходящихся в одной вершине: $В = \frac{20 \times 3}{5} = 12$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 12 - 30 + 20 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: икосаэдр имеет 12 вершин, 30 рёбер и 20 граней.

д) додекаэдр

Правильный додекаэдр — это многогранник, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Это одно из платоновых тел.

Грани: Название "додекаэдр" указывает на 12 граней (от греческого "додека" — двенадцать).

Рёбра: У додекаэдра 12 пятиугольных граней. Каждая грань имеет 5 рёбер. Каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = \frac{12 \times 5}{2} = 30$.

Вершины: В каждой вершине додекаэдра сходится 3 ребра (и 3 грани). Каждая грань имеет 5 вершин. Чтобы найти общее число вершин, можно умножить число граней на число вершин в одной грани и разделить на число граней, сходящихся в одной вершине: $В = \frac{12 \times 5}{3} = 20$.

Проверка по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 20 - 30 + 12 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: додекаэдр имеет 20 вершин, 30 рёбер и 12 граней.

4.2. Треугольную бипирамиду сложили из двух правильных тетраэдров, совместив их грани (частица "би" означает удвоение). Будет ли получившийся многогранник правильным? Почему?

Для того чтобы выпуклый многогранник был правильным (являлся одним из Платоновых тел), он должен удовлетворять двум условиям:1. Все его грани должны быть равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.2. Во всех его вершинах должно сходиться одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в результате соединения двух правильных тетраэдров по одной из их граней. Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все 4 грани являются равными равносторонними треугольниками.

Проверим выполнение этих двух условий для получившейся треугольной бипирамиды.

Первое условие выполняется. Грани исходных тетраэдров — это равносторонние треугольники. При соединении одна грань каждого тетраэдра становится внутренней, а оставшиеся $4-1+4-1=6$ граней формируют поверхность нового многогранника. Все эти 6 граней являются равными между собой равносторонними треугольниками.

Проверим второе условие. У получившегося многогранника есть 5 вершин. Эти вершины можно разделить на два типа по количеству сходящихся в них граней:- Две вершины, которые являются "верхушками" исходных тетраэдров (не лежат в плоскости их общего основания). В каждой из этих двух вершин сходятся по 3 грани, как и в любой вершине одиночного тетраэдра.- Три вершины, которые образуют общее основание (треугольник, по которому соединялись тетраэдры). В каждой из этих трех вершин сходятся по 4 грани: две грани от "верхнего" тетраэдра и две от "нижнего".

Так как в разных вершинах многогранника сходится разное количество граней (в двух вершинах по 3 грани, а в трех других — по 4), второе условие для правильного многогранника не выполняется.

Ответ: Нет, получившийся многогранник не будет правильным. Несмотря на то, что все его грани являются равными правильными треугольниками, в его вершинах сходится разное количество граней, что нарушает определение правильного многогранника.

4.3. Четырехугольную бипирамиду сложили, совместив основания двух четырехугольных пирамид, боковыми гранями которых являются правильные треугольники. Будет ли получившийся многогранник правильным?

Для того чтобы многогранник был правильным (платоновым телом), он должен удовлетворять трем условиям:

1. Он должен быть выпуклым.

2. Все его грани должны быть равными друг другу правильными многоугольниками.

3. В каждой его вершине должно сходиться одинаковое число граней.

Рассмотрим многогранник, полученный в результате соединения оснований двух четырехугольных пирамид. По условию, боковыми гранями каждой пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Пусть длина стороны такого треугольника равна $a$.

Это означает, что все боковые ребра каждой из двух пирамид имеют длину $a$, и стороны их общего основания также имеют длину $a$. Следовательно, общее основание — это ромб со стороной $a$.

Вершина каждой пирамиды ($V_1$ и $V_2$) равноудалена от всех вершин основания ($A, B, C, D$), так как боковые ребра $V_1A, V_1B, V_1C, V_1D$ равны $a$. Это означает, что проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром описанной окружности этого основания. Таким образом, основание должно быть вписанным четырехугольником. Ромб является вписанным четырехугольником только в том случае, если он является квадратом. Значит, общее основание двух пирамид — это квадрат со стороной $a$.

Полученный многогранник — это четырехугольная бипирамида, у которой все 8 граней являются равными правильными треугольниками со стороной $a$. Такой многогранник называется правильным октаэдром. Проверим, является ли он правильным многогранником согласно определению.

1. Выпуклость. Полученная фигура является выпуклой, так как она образована объединением двух правильных пирамид, соединенных по общему основанию.

2. Грани. Все 8 граней являются равными правильными треугольниками. Это условие выполнено.

3. Вершины. Проверим, сколько граней сходится в каждой вершине. У бипирамиды есть два типа вершин:

- Две "полярные" вершины, которые были вершинами исходных пирамид. В каждой из этих вершин сходятся 4 треугольные грани (боковые грани соответствующей пирамиды).

- Четыре "экваториальные" вершины, лежащие в плоскости общего квадратного основания. В каждой из этих вершин сходятся также 4 треугольные грани: две от верхней пирамиды и две от нижней.

Поскольку в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число граней (по 4), это условие также выполняется.

Так как все три условия выполнены, полученный многогранник является правильным.

Ответ: Да, получившийся многогранник будет правильным (это правильный октаэдр).